Este curso provee al estudiante con conceptos y herramientas matemáticas para modelar problemas en física, que al aplicar podrá enfrentar con éxito los cursos de física universitarios. Así pues, la filosofía de este curso consiste en cubrir temas conceptuales relativos a la Física y desarrollar tu capacidad de aprender y aplicarlos en tu vida profesional. El curso se aborda en dos fases a través de las cuales el alumno: - Aprenderá a aplicar el cálculo diferencial e integral para interpretar y modelar la cinemática de una partícula en una dimensión, - Aprenderá el manejo de cantidades físicas vectoriales en forma gráfica y analítica en dos y tres dimensiones.
Delimitación teórica del teorema del valor promedio
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Conceptos y Herramientas para la Física Universitaria
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Teorema del valor promedio e integrales
En este módulo nos enfocamos en la operación inversa de la derivada para calcular desplazamiento a partir de una función de velocidad; a dicha operación se le conoce como la integral definida y justificaremos su uso a partir de teorema del valor promedio. También usaremos la integral indefinida para obtener la función de posición a partir de una función de velocidad y una condición para la posición.
與講師見面
Dr. Genaro Zavala EnríquezDirector del Departamento de Física
Departamento de Física, Escuela de Ingeniería y Tecnologías de Información
Ing. Rodolfo Fernández de Lara HadadProfesor del Departamento de Física
Departamento de Física, Escuela de Ingeniería y Tecnologías de Información
Ing. José Rodrigo Salmón FolguerasProfesor del Departamento de Física
Departamento de Física, Escuela de Ingeniería y Tecnologías de Información
[MÚSICA] ¡Hola!
Bienvenidos al tema del teorema del valor promedio.
En este caso vamos a hablar específicamente sobre el teorema
del valor promedio de la velocidad.
Hasta el momento, lo que hemos hecho es hablar de la razón de cambio de la
posición con respecto al tiempo, es decir, de la velocidad o velocidad instantánea.
En este tema, lo que vamos a ver es lo contrario.
A partir de gráficas de velocidad, vamos a calcular,
vamos a establecer cuáles son los cambios de posición o desplazamientos.
Esa va a ser parte de nuestra, de nuestro tema en este en este día.
Hasta el momento, como les había dicho, hemos trabajado con funciones de
posición y hemos hablado de la velocidad de la partícula.
Ahora empezaremos a trabajar con funciones de velocidad y hablaremos
de la posición de la partícula.
Veamos este ejemplo.
Aquí tenemos un movimiento de velocidad constante.
No hay mucho que decir.
La velocidad es constante, si yo grafico la velocidad versus el tiempo lo que
tengo es una gráfica horizontal, es decir, en cada tiempo la velocidad es la misma
y en este ejemplo es de 5 metros por segundo.
Si quisiéramos calcular el cambio de posición y el desplazamiento entre 2 y
8 segundos, entonces tendríamos que hacer un cálculo
con el movimiento de velocidad constante, lo cual no es complicado, ¿por qué?
Porque nosotros sabemos que, en un movimiento de velocidad constante,
la velocidad media es igual en cada intervalo.
Cualquier intervalo que ustedes tomen,
la velocidad media va a ser igual, igual a la velocidad constante.
De tal manera que si tenemos que la velocidad media es
igual a delta x sobre delta t, entonces quiere decir que para cualquier intervalo
la velocidad instantánea, en este tipo de movimiento, es delta x sobre delta t.
Nosotros decíamos que queremos calcular el desplazamiento,
el cambio de posición de 2 a 8 segundos, es decir, el intervalo es de 6 segundos.
Si nosotros despejamos el desplazamiento de la ecuación de velocidad media,
lo que obtenemos entonces es el desplazamiento que es 30 metros.
Observen que este resultado del desplazamiento de la partícula de
30 metros, observamos en la gráfica de velocidad versus tiempo, sí,
lo que nos queda es un área.
Si nosotros multiplicamos la base de este rectángulo
que se forma entre 2 y 8 segundos, por la altura, que en este caso sería 5 metros
por segundo, lo que obtenemos es el área y esos son 30 metros.
El resultado no es una casualidad en realidad.
El cambio de posición o desplazamiento de una partícula que se mueve en una
dimensión se puede calcular a partir de la gráfica de velocidad.
Es decir, el desplazamiento de una partícula en un intervalo
es le área bajo la curva de la gráfica de velocidad en ese intervalo.
Eso ocurre para cualquier tipo de gráfica de velocidad.
El ejemplo que pusimos es un ejemplo muy sencillo,
en donde la velocidad instantánea es constante.
Veamos un movimiento en donde la velocidad instantánea no es constante.
Vamos a suponer que aumenta uniformemente.
Este es un ejemplo.
La velocidad, si se fijan en la gráfica, es 0 en t igual a 0,
y va aumentando conforme el tiempo va pasando.
Entonces este es otro ejemplo.
Lo que queremos encontrar es
el desplazamiento en un intervalo en este tipo de gráficas.
Y para eso vamos a utilizar el teorema del valor promedio de la velocidad.
Aquí lo importante es entender que es el área bajo la curva.
El área bajo la curva, por ejemplo,
si yo quisiera calcular el desplazamiento de t1 hasta t2, es el área bajo la curva.
Tendríamos ahí esa curva que está sombreada, la que tenemos que calcular.
Bueno, el teorema del valor promedio de la velocidad nos indica
que el desplazamiento en ese intervalo de t1 a t2,
es igual a la velocidad promedio multiplicada por el intervalo.
La velocidad promedio se define como la suma de
la velocidad inicial y la velocidad final entre 2.
Es decir, es un promedio de velocidades,
la velocidad inicia más la velocidad final sobre 2.
Entonces lo que obtendríamos es que el desplazamiento sería
v1 + v2 sobre 2 multiplicado por delta t.
Ese es el desplazamiento de una,
de este tipo de movimiento en donde la velocidad aumenta uniformemente.
Observemos esta gráfica.
¿Se fijan que el movimiento no es, es una
gráfica de velocidad en donde la velocidad no aumenta o disminuye uniformemente?
En este caso, primero aumenta en el primer intervalo,
después se mantiene constante y lo disminuye.
Pero en cada caso, en cada uno de los intervalos de 0 a 4 segundos o de 4 a 8 o
de 8 a 12 segundos, vemos que la velocidad sí cambia uniformemente.
Entonces podemos utilizar el teorema del valor promedio
en cada uno de estos intervalos y sumar.
Esto lo hacemos de esta manera.
Pensemos que el área bajo la curva es realmente lo que estamos buscando
y aquí no dividí en 3 intervalos, en donde la velocidad o aumenta uniformemente,
se mantiene constante o disminuye uniformemente.
Entonces delta x1 sería el desplazamiento del primer intervalo y así
sucesivamente con los otros dos.
Observen que el desplazamiento total sería la suma de los desplazamientos.
El primer desplazamiento, en efecto, puedo utilizar el teorema de la velocidad
promedio porque aumenta uniformemente, sería la velocidad promedio en el
intervalo 1, por el intervalo 1 y así sucesivamente con los otros 2,
que serían la velocidad promedio del intervalo 2 por el intervalo 2 por
el intervalo 2, más la velocidad promedio del intervalo 3 por el intervalo 3.
Ese sería el cálculo que tengo que hacer y este es un cálculo sencillo de hacer
en este tipo de gráficas.
En este caso sería 1 + 2 sobre 2, ¿se fijan?
Es la velocidad inicial del primer intervalo, que es 1 + 2,
que sería la velocidad final en el primer intervalo sobre 2,
sería la velocidad promedio en el primer intervalo.
Y luego el intervalo sería 4 menos 0.
Así sucesivamente con los demás, con los otros 2 intervalos,
y lo que obtenemos es un desplazamiento total de 18 metros.
La partícula, sí, se desplazó 18 metros.
El cambio de posición fue de 18 metros.
¿Qué hacemos cuando la función de velocidad es más complicada?
Es decir, ¿se fijan qué aquí en ningún intervalo la velocidad
cambia uniformemente?
Quizá al final se puede pensar que cambia uniformemente.
En realidad es una curva en donde la velocidad en ningún momento
cambia uniformemente.
Sin embargo, aún y cuando no puedo calcular con el teorema de
la velocidad promedio el área bajo la curva, lo que puedo hacer es aproximar.
Si yo quisiera calcular el desplazamiento de 0 a 14 segundos,
pudiera hacer una aproximación con el teorema de la velocidad promedio,
sin embargo, ese teorema nos va a dar esta área.
¿Se fijan que esa área no es igual al área bajo de la curva?
Nos está faltando parte del desplazamiento, parte del área.
Entonces, pero sería una aproximación, una aproximación,
quizá no buena la aproximación, pero sí, una aproximación.
¿Qué les parece si ahora pensamos en utilizar 2 intervalos?
Si utilizamos 2 intervalos, en efecto, la aproximación mejora.
Sí, en este caso es como si yo estuviera asumiendo que en el primer intervalo
de 0 a 7 segundos, la velocidad aumenta uniformemente y de 7 a 14 aumenta
uniformemente, de alguna u otra manera, pero aumenta uniformemente.
En este caso la aproximación es mejor, sin embargo,
no es igual a lo que nosotros estamos pensando.
Si utilizamos 4 intervalos, ¿se fijan que la aproximación es mejor?
Sí, en este caso, si divido a mi intervalo total de 0 a 14 segundos en 4 intervalos
de 3.5 segundos, lo que obtengo es una mejor aproximación del área bajo la curva.
Lo que obtengo es una mejor aproximación del desplazamiento de la partícula,
y esto, asumiendo en cada uno de estos pequeños intervalos, estos 4 intervalos,
que la velocidad aumenta uniformemente.
No lo aumenta, no hace eso, no aumenta uniformemente, sin embargo,
es una buena aproximación.
¿Cuál sería, entonces, una mejor aproximación?
Pues a mayor número de intervalos.
Tendría yo que utilizar un mayor número de intervalos para encontrar
la, el desplazamiento, el cambio de posición de la partícula en ese intervalo.
Entonces la conclusión aquí sería que yo
puedo utilizar el teorema de la velocidad promedio para calcular desplazamiento de
cualquier gráfica de velocidad, siempre y cuando estemos,
entendamos que cuando la velocidad no aumenta ni disminuye uniformemente,
es decir, cambia de manera arbitraria, va a ser una aproximación,
y la mejor aproximación será con el mayor número de intervalos.
Claro, que si yo quisiera encontrar en forma exacta esa área bajo la curva,
entonces lo que tendría que hacer es tender a infinito en lugar de intervalos,
¿no?
Eso sería matemáticamente lo que yo tendría que hacer.
Bueno, y con esto terminamos.
Les agradezco su atención.
Nos vemos en el siguiente tema.
[MÚSICA]
