Consideriamo una cisterna di sezione s_1 e riempiamo questa cisterna con un fluido di densità ρ fino a una quota generica y rispetto al terreno. A questo punto, su uno dei due lati della cisterna pratichiamo un foro, ad un'altezza h rispetto al suolo, la cui sezione s_2 supponiamo essere molto minore della sezione s_1 della cisterna. Per effetto della presenza del foro, il fluido all'interno della cisterna comincerà a defluire verso il terreno e quello che vogliamo cercare di calcolare è quanto valga la velocità di deflusso che indico con v_2. Per risolvere questo problema dobbiamo applicare il principio di Bernoulli. Consideriamo, quindi, un generico tubo di flusso che congiunga il pelo libero del fluido con il foro che abbiamo praticato e andiamo a valutare i termini del principio di Bernoulli in due punti precisi, a quote differenti che corrispondono al pelo libero del fluido e al foro stesso. I vari termini del principio di Bernoulli si scriveranno quindi nella seguente maniera. Identificando con p_1 e v_1 pressione e velocità del fluido al pelo libero potremo scrivere che p_1 più la densità di energia cinetica del fluido al pelo libero (1/2)ρv_1² più la densità di energia potenziale, sempre al pelo libero, quindi ρgy, è pari alla valutazione di questi termini in corrispondenza del foro. Identifico con v_2 e p_2 pressione e velocità del fluido proprio in corrispondenza del foro e quindi la seconda parte del teorema di Bernoulli si scrive come p_2+(1/2)ρv_2², che corrisponde alla densità di energia cinetica
del fluido in corrispondenza del foro, più ρgh. A questo punto facciamo le seguenti considerazioni. Sia in corrispondenza del pelo libero, che in corrispondenza del foro, agisce la pressione atmosferica. Possiamo quindi dire che p_1 sarà uguale a p_2, entrambi uguali alla pressione atmosferica p_0. In secondo luogo, considerando lo stesso tubo di flusso che abbiamo disegnato qualche istante fa, possiamo sfruttare la legge di Leonardo sulla costanza della portata per mettere in relazione velocità e pressione del fluido al pelo libero e in corrispondenza del foro. Potremo dunque quindi scrivere che la velocità v_1 per la sezione s_1 della cisterna è pari alla velocità v_2 per la sezione s_2 del foro. Ricaviamo, quindi, un'espressione per v_1. v_1 sarà uguale a v_2 per il rapporto tra s_2/s_1. Inseriamo le due espressioni che abbiamo trovato nell'equazione per il Principio di Bernoulli e otteniamo p_0+(1/2)ρv_2², che moltiplica il rapporto tra le sezioni (s_2/s_1)²+ρgy=p_0+(1/2)ρv_2²+ρgh. A questo punto semplifichiamo la pressione p_0 da entrambi i membri e semplifichiamo la densità del fluido ρ da tutti i membri dell'equazione e otteniamo la seguente espressione: (1/2)v_2², che moltiplica 1 meno il rapporto tra le sezioni (s_2/s_ 1)² è uguale a g(y-h). Dato che la sezione del foro s_2 è molto minore della sezione della cisterna s_1 possiamo trascurare questo termine e quindi la velocità di deflusso del fluido dalla cisterna risulta essere pari alla radice di 2 volte g(y-h). Questa espressione è nota come legge di Torricelli ed è interessante notare che essa non dipende dalla densità del fluido che si sta considerando ed è analoga all'espressione per la velocità di caduta di un grave in meccanica.