В ближайшее время мы будем с вами заниматься именно вот этой парой
соотношений.
И вот сейчас мы рассмотрим несколько примеров применения
теоремы циркуляции для магнитного поля B, для вычисления этого поля.
Ну разумеется это можно сделать только в простейших случаях,
когда конфигурация токов очень проста, и мы можем из соображения симметрии,
как бы, угадать структуру того поля, которое там будет.
Ну, во-первых, как это делается?
Вот давайте посмотрим.
Ну вот для первого примера, мы возьмем ток,
который течет по стенкам длинной тонкостенной трубы, например, вот такой.
Вот у вас труба, вот это её сечение, и по ней,
по стенкам этой трубы, в направлении аудитории,
давайте вот здесь я поставлю вот такой значок, протекает полный ток I.
Нам нужно найти магнитное поле вне и внутри трубы.
Как это делается?
С помощью теоремы циркуляции.
Но, во-первых, эта задача имеет осевую симметрию.
Да? Поэтому можно угадать,
что если вот мы находимся в этой точке, то магнитное поле, во всех точках,
удаленных на такое расстояние, должно быть одно и то же по модулю.
А, кроме того, это магнитное поле должно быть направлено по
касательной к окружности, которая проходит через эту точку.
Вот, догадавшись, используя соображение симметрии,
мы теперь можем легко применить теорему циркуляции, а именно,
мы напишем, что циркуляция вот по этому контуру, вот,
я теперь беру какой-то контур, вот он, вот такой контур обхода.
Давайте я попробую нарисовать этот контур обхода, вот он такой какой-то, да?
Он имеет радиус, скажем, радиус r, ну,
а модуль магнитной индукции обозначим через B.
Тогда, обойдя по этому контуру, и принимая во внимание,
что во всех точках модуль B один и тот же, и сам вектор направлен по касательной,
мы получим, что циркуляция вектора B = 2πr * B, да?
Вот такая циркуляция по контуру L.
Ну, а, согласно теореме циркуляции,
это равно полному току, который пронизывает наш контур обхода.
Ну теперь давайте со знаками.
Давайте сообразим, вот я нарисовал правильно или нет?
Наверное, я неправильно нарисовал, если ток течет в нашу сторону, то, по правилу
правого винта, индукция магнитного поля должна быть направлена вверх, да?
Ну и вот, мы будем предполагать, что мы обходим этот контур вот в эту сторону.
Тогда знаки везде будут положительные,
ну и вот написать нужно 4π / c, и вот здесь полный ток I.
Это для случая, когда r > R, да?
Ну, или равно.
Вот, что дает теорема циркуляции.
Ну, стало быть, тут в общем, всё правильно.
Получается, что B = 2I / cr.
Ну, эта формула же, она у нас уже была получена просто для прямого тока,
то есть такая тонкостенная труба, с однородно текущим по её стенкам током,
имеет вне себя вот такое магнитное поле, которое равно 2I / cr.
Так же, как и прямой провод, расположенный по оси,
и несущий полный ток этой трубы, да?
Ну вот такая вещь.
Ну, а что будет, если вот это… а что внутри трубы?
А если r ≤ R?
Как тогда поступить?
Тогда нужно тоже, в силу симметрии,
нужно выбрать вот такой контур, радиус которого меньше,
чем радиус самого этого стержня.
Ну, и, применив теоремы циркуляции, мы в правой части должны получить будем 0,
потому что вот этот контур не пронизывается никаким током,
весь ток сосредоточен в стенках этой трубы.
Ну если бы мы нарисовали с вами картинку, значит в этом случае
2πr * B = 0.
Вот, равно 0, согласно теореме циркуляции, ну и B равно 0.
А картинка получается вот такая.
Вот, если вот это вот есть r, вот это есть радиус этой трубы, то здесь,
внутри трубы поле 0, потом скачком оно возрастает,
и дальше, вот по такому закону 2I / cr.
Значит, вот это вот 2I / cr, да?
Ну, это вот модуль вектора B откладывается.
А что было бы, если бы это была не тонкостенная труба,
а сплошной стержень, по которому ток протекал бы однородно?
Что бы здесь нужно было исправить, в этой, вот в этой задаче?
Ну, во-первых, для случая,
когда r > R ничего исправлять не надо, тогда,
вот, если мы обходим, вычисляем циркуляцию для этого контура,
у которого радиус больше, чем радиус нашего стержня,
то справа должен быть стоять полный ток, он весь внутри, пронизывает этот контур.
Ребята, ну, а мысленно себе нужно представлять так.
Давайте, вот выбранный контур обхода затянем мысленно вот такой
какой-то поверхностью, пленкой, да?
Это помогает сразу понять,
пронизывает наш ток этот контур или нет.
Если он эту пленку пронизывает, мысленно, конечно, нарисованную,
тогда нужно в правой части его писать.
Значит, для трубы… простите, пожалуйста.
Для сплошного стержня, по которому однородно течет ток,
тогда снаружи получим то же самое.
А внутри?
Значит, если я напишу здесь стержень, да?
Какое же будет отличие для внутренней области?
Тогда, взяв вот такой контур обхода, пунктиром здесь нарисованный,
у которого радиус меньше, чем R, вот этот случай, да?
Мы должны в правой части поставить только,
только ток, который пронизывает этот контур.
Но, очевидно, если ток распределен по сечению равномерно, то нужно
отношение квадратов, ну, по площадям тогда можно этот ток рассчитать, да?
Тогда получится вот что: 2πr * B,
это будет циркуляция по этому пунктирному контуру для случая r ≤ R,
а справа писать 4π / c, и какой ток?
А здесь нужно написать, а здесь нужно написать просто (r² / R²) и на I, да?
Вот такой ток
пронизывает вот этот наш пунктирный контур, да?
Ну тогда получится, смотрите, если мы поделим тут,
останется здесь просто двойка.
Будет ответ такой: B =
2Ir / cR², да?
Ну вот такая получится формула.
Заметьте, что внутри это поле B будет линейно возрастать с ростом r,
и поэтому график будет вот такой.
Значит, если это R, это вот r малое,
сначала поле так растет, а потом оно вот так начинает убывать.
Вот такой график для, для случая тока,
текущего по сечению всего этого стержня.
Ребята, а вот я у вас хочу спросить: вот как так получилось?
Мог ли быть вот здесь скачок на этом графике?
А? Скажем, вот такая вот ситуация, я нарисую,
условно, я к вам обращаюсь с вопросом.
Вот могла быть такая ситуация?
Вот идет линейная зависимость, так, а потом вот такая вот.
Ну, я нарисую здесь, вот здесь вот такой внешний,
внешний ход этого графика, вместо того, который был нарисован.
То есть, здесь вот линейный рост, а потом скачок
и потом это уже, вот это уже гипербола, да?
За пределами этого стержня.
Такая ситуация могла быть?
Что?
У нас никакой среды пока нет, есть токи, текущие по проводникам.
Никаких намагничивающихся сред, для которых нужно там
вводить какие-то новые параметры, ничего этого нет.
Значит, вот я, забегая вперед, скажу, что, наверное, такое возможно,
но для этого не только по сечению трубы должен течь ток,
который обеспечивает вот такое вот линейное нарастание
магнитного поля B, но еще по поверхности...
В тонком поверхностном слое должен быть ещё поверхностный ток.
Вот если он есть, тогда при переходе через него возникает такой скачок.
Вот с этим мы познакомимся чуть-чуть попозже.
Это вопрос о граничных условиях,
которые должны выполняться на поверхности, по которой протекает ток.
Ну вот что ещё?
Есть ещё такая очень важная задача,
задача о магнитном поле в тороидальной катушке.
Что такое тороидальная катушка?
Это вот что такое.
Мы берём такой бублик, вот я сейчас нарисую вот такую,
это вот бублик такой, да?
Но я взял такой бублик, у которого толщина этой
съедобной части – сечения – очень маленькая, да?
Вот это вот 2r, 2r << чем,
скажем, вот это R, какое-то R.
Вот такое?
ну для простоты, вот такой бублик.
А что такое тороидальная катушка?
Это катушка, намотанная вот на такой немагнитный каркас.
Скажем, это сделано из бумаги, такая вот конструкция.
А дальше вот мы считаем, что вот так вот, виток к витку мы наматываем на этот каркас
катушку, и вот то, что получается, это и есть тороидальная катушка.
Вот я так её изображаю.
Ну, естественно, что тороидальная катушка должна характеризоваться кроме её
геометрических размеров, вот это-то мы написали только для простоты.
Необязательно, можно и убрать это неравенство.
А ещё должно быть указано, что для этой катушки?
Число витков на единицу длины.
То есть вот n — это число витков,
плотность намотки на единицу длины этой катушки.
Ну и, естественно, мы предполагаем, что по виткам этой катушки протекает ток I.
Он по всем виткам, очевидно, протекает.
Ну и нужно понять, какое поле будет внутри этой катушки.
Нам хочется знать, какое поле будет там в катушке.
Магнитное поле, создаваемое всеми витками этой идеальной тороидальной катушки.
Почему она считается идеальной?
А потому что… почему я так называю её?
Ну потому что мы считаем, что витки намотаны плотно, нет промежутков.
Если бы такие промежутки были, то там возникала бы неоднородность поля.
Мы всё это не рассматриваем.
Так вот, как решается эта задача с помощью теоремы циркуляции?
Ну для этого мы должны всегда выбрать какой-то контур обхода.
Вот это контур, для которого вычисляется циркуляция вектора B.
Ну, естественно, задача симметрична для идеальной тороидальной катушки.
Вот эта ось, перпендикулярная катушке, проходящая через её центр,
вот эта точка o, да?
Она является осью симметрии,
поэтому в этом случае для осевой симметрии, для задачи с осевой
симметрией этот контур нужно выбирать целесообразно в виде окружности.
Вот мы и выберем наш контур вот таким образом, который, этот контур,
эта окружность целиком проходящая, находящаяся внутри этой катушки.
Вот такой контур.
Ну вот здесь плохо у меня видно.
Ну понятно, что мы, там, внутри пропускаем вот мысленно нарисованный контур, так?
И считаем для него циркуляцию вектора B.
Циркуляция вектора B для этого контура будет равняться 2πr * B.
В силу симметрии задачи во всех точках этого
контура обхода вектор B имеет один и тот же модуль.
Ну а, во-вторых, направление этого вектора B будет везде по касательной.
Вот в каждой точке вектор B будет,
только я опять… давайте вот здесь мы нарисуем ток.
Нет, ну это неважно, это неправильно.
Вот это направление вектора B зависит от того, как намотаны витки.
То есть они обтекаются по или против часовой стрелки.
Но это не будем вдаваться в это, в эти тонкости.
Вот такой вектор B, да?
Значит, циркуляция будет вот такая: 2πr * B.
Причём, поскольку сильное неравенство,
то мы под r понимаем некоторый средний радиус, вот этот вот, да?
И вот это, конечно, некоторое приближение.
А что справа написать надо?
Значит, мы должны рассуждать так: вот мы выбрали контур,
а тут токи и тут масса витков,
какие из них нужно записать, учесть в правой части?
Для этого нужно на этот контур натянуть мысленно вот такую
плёнку и посмотреть, какие токи пронизывают эту плёнку.
Ну и легко сообразить, что каждый виток будет один раз её протыкать, да?
Ну, значит, нужно справа вот в этом выражении написать.
Ну, во-первых, 4π / c, вот написать нужно.
А, во-вторых, написать нужно ну ток I,
конечно, в каждом витке и полное число витков.
А полное число витков — это будет 2πr * n, да?
Ну n — это число витков на единицу измерения.
Ну, если мы напишем это вот такое соотношение,
мы определим модуль вектора B.
А будет направлен он вниз или вверх вот на этом рисунке, отчего зависит?
Как намотаны витки – они могут быть намотаны вот таким вот образом,
а могут быть в обратную сторону.
Поэтому вот на этом чертеже...
с помощью такого чертежа на этот вопрос нельзя ответить.
Ну вот отсюда следует, что B, ну тут 2πr уходит,
да, из этой формулы, будет равно 4π / c, nI.
Вот эта чрезвычайно важная формула.
Это магнитное поле.
Вот при таком условии, которое мы приняли, оно упрощает задачу,
конечно, по сечению этого, по внутреннему сечению этой катушки поле однородно.
Но оно почти не зависит от того, от этого радиуса R, да?
Который может, вообще говоря, меняться в пределах диаметра каждого витка.
Но мы этим пренебрегаем, тогда поле вот такое.
Вот такое.
Но, между прочим, давайте обратим внимание,
что в эту формулу не входит R – радиус самого
этого бублика вообще в формулу не вошёл.
И что это значит?
Что это нам, что нам даёт это?
Ну вот это утверждение, что сюда в эту формулу не входит радиус?
А вы знаете, что мы можем брать такой тор с такой же плотностью
намотки и с таким же током, текущим по виткам,
любого радиуса в том числе устремить этот радиус к бесконечности.
А как только он будет стремить радиус к бесконечности, так любой кусочек этого
невероятно большого тора станет похож на прямолинейную катушку, да?
Короче говоря, вот эта формула, которую мы получили для тора,
она подходит и для прямолинейной катушки с плотнонамотанными витками.
И вот я здесь нарисую эту катушку.
Вот такая катушка.
Вот давайте мы её нарисуем.
Ну, конечно, снова мы её идеализируем,
потому что витки должны быть плотно друг к другу намотаны.
Но вот такая вот катушка.
Число витков на единицу длины n, ток текущий по виткам I,
ну вот давайте здесь мы нарисуем этот ток, вот ток I, допустим, по виткам.
Так вот, магнитное поле вдали от концов будет
записываться такой же в точности формулой.
Это формула магнитного поля внутри тороидальной катушки и внутри
длинного соленоида, такое с однородной намоткой витков.
Ну, кстати, между прочим, можно и по-другому эту формулу получить.
Ну вот, если эта катушка очень длинная,
то поле практически находится всё внутри этой катушки.
Магнитное поле вне этой катушки можно ну в каком-то приближении пренебречь.
И тогда можно вот так рассуждать.
Давайте возьмём, применим теорему циркуляции вот к такому контуру.
Прямоугольный контур, у которого вот есть,
вот нижняя длинная сторона находится вне этой катушки,
а верхняя сторона находится внутри катушки.
Тогда пусть длина этой стороны будет равна Δl,
ну можно применить теорему циркуляции к этому прямоугольному контуру.
Тогда получится вот что, смотрите-ка...
Вот я как нарисую обход.
Знаки не будем расставлять, потому что у нас ещё не определено,
в какую сторону течёт ток.
Ну так вот, если мы натянем на этот контур нашу...
мысленно натянем эту плёнку, которая помогает нам понять,
какой ток вписать в правой части, то легко сообразить, что витки,
расположенные на длине l, а их там n * Δl штук, да?
Они пронизывают этот контур.
А, стало быть, циркуляция будет равна Δl * B.
Это вклад вот этой верхней стороны.
Вертикальные стороны никакого вклада не дают.
И нижняя сторона тоже – там нет магнитного поля.
Ну в таком приближении.
Так вот эта Δl * B = 4π / c,
n * Δl, это вот число витков,
которые пронизывают наш контур, ну и, конечно, на I, да?
Тогда вот Δl из этой формулы уходят.
Ну и B = (4π / c) nI Ну вот у вас,
наверное, на семинарах будет ещё парочка задач,
тоже простейших, которые вот таким способом можно решать.
