А теперь мы с вами познакомимся с основной задачей электростатики. В чем она состоит? Ну, естественно, она состоит в том, чтобы найти электростатическое поле, если задано распределение зарядов или потенциалов. Ну вообще, в принципе, нам нужно найти векторное поле. Так вот, оказывается, свойство электростатического поля таково, что можно искать не вект... решать не векторную задачу, а решать задачу скалярную. И вот я хочу вас с этим познакомить. Как это нужно было бы сделать. Ну вот, все что здесь... нам необходимо, здесь написано. Ну и посмотрите, пожалуйста. Вместо того чтобы искать вектор E, ну как функцию там координат x, y и z, можно сначала найти скалярную функцию φ(x, y, z), а потом, используя вот это вот соотношение связи дифференциальное, рассчитать, выполнив соответствующие операции дифференцирования, найти и векторное поле E. Только для этого, для того чтобы так вот сформулировать задачу относительно потенциала, нужно просто подставить вот это выражение вот сюда — и тогда мы получим вот такую... вот такое выражение: div grad φ равняется, ну вот если знак минус есть, поэтому мы не должны его забывать, мы его запишем в правой части, будет –4πρ в правой части. Вот такое вот выражение, в таких значках, может быть, еще мало вам привычных. Но это, вообще говоря, дивергенция и градиент имеют очень простую расшифровку. Смотрите пожалуйста, вот дивергенция, что такое первый член здесь — это производная x компоненты вектора E, ну это вот написано для вектора E, по соответствующей, по x координате. Значит, какова x компонента вектора градиент. x компонента вектора градиента — это dφ по dx. Значит, подставляя сюда, мы должны теперь еще раз продифференцировать по координате. Поэтому у нас получится, когда мы будем расшифровывать вот это, вот этот символ, такой, эту комбинацию символов, я бы даже сказал. У нас получится вот такое соотношение. d2φ по dx^2, это вот из первого члена, который запи... выражение которого, которое записано в верхней строчке. Ну точно так же, когда мы перейдем ко второму члену, появится d2φ по dy^2, ну и так же плюс d2φ по dz^2. И все это равняется, давайте я сделаю вот такую скобку здесь, вот –4πρ пока напишу. А если нет зарядов, которые размазаны по пространству, тогда здесь получится 0. Ну если ρ = 0, тогда, естественно, в правой части будет 0, да. Так вот, это и есть основное уравнение электростатики, записанное для потенциала φ. Вот если правая часть не равна нулю, то вот соответствующее уравнение, содержащее вторые производные функции φ по координатам, оно называется уравнением Пуассона. Вот математики называют это уравнением Пуассона. Напишем давайте здесь. Уравнение, ну я напишу просто Пуассон. А если вот все-таки правая часть = 0, то это, такое уравнение называется уравнением Лапласа. Лаплас, да? Давайте напишем. Ну так вот, основная задача электростатики формулируется следующим образом. Нам нужно решить вот такое уравнение. Давайте будем говорить только о случае, когда правая часть = 0. Да кстати, а вот эта комбинация вторых частных производных, она очень часто встречается в физических задачах. Она обозначается вот таким вот символом, Δφ, вот это, ну а читается так: лапласиан φ равен вот этому, вот этой комбинации вторых частных производных. Так вот, в чем же состоит, как сформулировать задачу электростатики. Вообще, тут есть несколько вариантов. Первый вариант, самый простой, состоит вот в чем. Заданы у вас какие-то проводники в пустом пространстве. Это какие-то сложной формы проводники, я специально нарисовал их какой-то невнятной формы. И на этих проводниках заданы потенциалы. Значит там, φ1, φ2, φi. Вот такая задача. И нам нужно найти во всем пространстве между проводниками распределение потенциала, но такое, чтобы на границах с этими проводниками эта функция принимала заданные значения: φ1, φ2 и φi, да. То есть, заданные граничные значения найти нужно во всем пустом пространстве, решив вот эту задачу, в соотношении, при котором, эта форма, при которой в правой части стоит 0, потому что в остальном пространстве никаких зарядов нет, вот так ставится задача. Ну, естественно, она может быть немножко более сложно поставлена. Второй вариант гораздо более сложный, когда заданы, я снова нарисую какую-то комбинацию проводников, но заданы не потенциалы на каждом из них, а заданы заряды. Вот если задан здесь заряд q1, q2, qi, так вот это тоже есть задача электростатики. Распределение заряда по проводнику неизвестно, поэтому здесь как бы граничные условия записываются в более сложной форме, Ну, вот этот второй вариант вообще сложнее, чем первый для доказательства теоремы, о которой я вот несколько минут спустя скажу, очень важной для нас теоремы. Третий вариант — это смешанный вариант, когда на одних проводниках заданы, ну скажем вот так, ну я так нарисую. Здесь qi, а вот здесь φi. Да, вот такая смешанная комбинация ограниченных условий. Так вот, теперь я произнесу некоторую фразу, которую мы должны с вами просто запомнить. Оказывается, что в любом из этих трех вариантов решение уравнения Лапласа единственно. То есть, существует теорема единственности. То есть, если вот один из этих трех случаев, а это, собственно, перекрывает все возможные варианты, задан, ограниченные условия заданы, то во всем пустом пространстве между проводниками распределение потенциала определяется единственным образом. Вот математики называют соответствующее утверждение теоремами единственности. Они их умеют доказывать и испытывают большой эмоциональный подъем, когда доказывают теорему единственности, и это правильно, наверное. Но отношение математиков и физиков к теореме... вот к единственности решения, оно немножко разное. Потому что для математиков нужно показать, что там... строго показать, что там, применяя всякие математические ухищрения, что действительно других решений быть не может. Для физика это может быть не очень важно, потому что очень часто физик ориентируется на интуицию. Нам понятно, что если мы зарядили проводники, то во всем пространстве возникнет какое-то распределение поля, и трудно ожидать, чтобы оно было неоднозначным, потому что тогда мы жили бы с вами в неоднозначном мире, и физик как бы всегда это интуитивно учитывает, и не возникает вопросов. Кстати, это рассуждение не мое, это рассуждение Фейнмана. Вот в одной из книг он написал, что особенно физику особенно обращать внимание на доказательство теорем единственности как бы не имеет смысла, потому что для физиков это и так понятно. Но тем не менее, вот один случай, который здесь наиболее простой и где не требуется каких-то громоздких вычислений я хочу вам проиллюстрировать. Это вот случай первый, когда на всех проводниках заданы потенциалы. Тогда доказать единственность решения можно просто на пальцах. Вот этого, собственно говоря, нам будет достаточно. Ну давайте рассуждать следующим образом. Вот это уравнение Лапласа с нулевой правой частью, оно содержит вторые частные производные в первой степени, да? Это линейные уравнения. Поэтому если нам известно какое-то одно решение, скажем, φ1(x, y, z) и еще, скажем, другое решение, φ2(x, y, z), то любая линейная комбинация из этих двух решений тоже есть решение. Ну это вот такое свойство всех линейных уравнений. Так вот, предлагается, ну предположим, что мы нашли все-таки два решения, и вот мы хотим доказать, что они совпадают, тогда мы образуем с вами вот такую разность. Возьмем ψ(x, y, z), которая, значит, это просто разность φ2–φ1. Это тоже решение нашего уравнения. Но с какими граничными условиями? Вот какие граничные условия для вот этого, для вот этого нового решения? Там совсем другие граничные условия. Обе функции φ2 и φ1 на границах с проводниками принимают заданные значения. А если берем их разность, стало быть, для функции ψ какое будет граничное условие на каждом проводнике? 0. То есть эта функция ψ принимает на каждом из проводников, на поверхности каждого из проводников значение 0. Ну а в пространстве между проводниками – там ведь нет никаких зарядов. Как она должна себя вести при этом, эта функция? Ну, она может быть тождественно равна 0, тогда мы, собственно, вздохнем с облегчением, и все будет доказано, да? А может иметь, скажем, матэкстремум какой-то, максимум или минимум. Ну, предположим, что в какой-то точке пространства, вот функция ψ имеет максимум. Ну, скажем, в этом месте φ2 > φ1. И мы получили такой в пространстве максимум. Что бы это означало? Значит, если вот имеется вот в этом месте, скажем, вот в этой точке, какой-то максимум функции ψ, то во всех направлениях функция эта убывает, а это же потенциал. Что происходит с электрическим полем, если во всех направлениях, в которых мы будем смещаться от данной точки, потенциалы убывают? Что мы при этом мы скажем о самом электрическом поле? Как направлены силовые линии? Силовые линии направлены в сторону убывания потенциала. Вот поэтому скажем, что в этом месте, вот в окрестности этой точки силовые линии электрического поля направлены все вот таким вот образом. Это веер расходящихся силовых линий. А что это означает? А это означает, что здесь должен быть заряд, да? По теореме Гаусса, такая ситуация возможна только в том случае, если вот в этой области есть заряд, потому что если мы, скажем, применим теорему Гаусса и окружим эту область некоторой поверхностью S, то понятно, что тогда через эту поверхность поток вектора E ≠ 0, а стало быть, внутри у него есть заряд, а на самом деле заряда никакого нет. Ну, по условию, во всем пространстве между проводниками заряд равен 0. Значит вот таким образом, отсюда следует, что эта функция ψ тождественно равна 0. Ну это вот и есть доказательство теоремы единственности вот в этом, как я уже сказал, простом случае. Вот для этих случаев доказательство немножко, ну, существенно более сложное, и мы этим заниматься не будем, но вот мы должны с вами усвоить и как бы, ну, твердо усвоить, что решение уравнения Лапласа при заданных ограниченных условиях, в какой бы форме они ни были заданы, единственно. Это как бы некое утверждение, ну, я бы сказал, в каком-то смысле равносильное закону сохранения энергии в механике. То есть мы должны все верить в это. Правда, должен сказать, что среди студентов физтеха были и такие, которые не верили в закон сохранения энергии, допустим. Например, а помню, один студент не верил в первое начало термодинамики. Ну, потом его следы где-то затерялись, я не знаю, где он, куда он делся. Но тем не менее, вот такая вещь возможна, но я вас призываю вот не делать этого. Давайте все-таки поверим, примем на веру это утверждение. Ну вот. Ну, а если это так, тогда, значит, тут есть определенный класс задач, не очень широкий, который непосредственно решается на основе вот этой теоремы единственности, так называемой. Это задачи на изображение, вот так называется этот класс задач. Задачи на электрические изображения. Я сейчас просто пример приведу такой задачи, она, задача, которую я сейчас расскажу, она есть в вашем «задавальнике», Ну вот такая задача. Представим себе, что вас интересует вот такое расположение, у вас есть, ну, скажем, бесконечный металлический лист, то есть проводник, да, плоскость проводящая. А здесь находится маленький заряженный шарик, заряд на нем q. Вот такая вещь. И нужно найти, с какой силой шарик притягивается к незаряженной, вообще говоря, этой металлической плоскости. Ну вот как эту задачу решить? Ну понятно, раз это проводник, то силовые линии как-то будут подходить во всех точках по нормали к этому проводнику. Ну а если сформулировать задачу, вот на языке ограниченный условий, то к какому классу относится эта задача? 1, 2, 3 — какой класс это? Ну вот на этом проводнике, это маленький шарик заряженный, да? Задан заряд, а что задано на этой плоскости бесконечной? Что там задано? Задан потенциал. Если плоскость бесконечна и уходит своими краями в бесконечность, то чему равен ее потенциал? 0. Вот значит, φ = 0. Почему 0? А потому, что можно, взяв, мысленно конечно взяв, положительный единичный заряд пробный, можно утащить его по этой плоскости в бесконечность, без свершения, электрическое поле работу не совершит. Это значит, что вся эта плоскость q потенциальна, имеет нулевой потенциал. Вот исходная задача и исходные ограниченные условия. Ну, как решать такую задачу? Предлагается, опираясь на теорему единствености, перейти к другой задаче совсем. Но в которой вот эта ситуация с ограниченными условиями повторяется. А задача такая, вот я здесь просто Давайте, я вот здесь... Другая задача. Вот возьмем, представим себе, что у вас есть вот этот заряд q, а вы вот поместите ряд −q симметрично относительно этой плоскости. В этой задаче никакой металлической плоскости нет. Просто есть 2 заряда, q и −q, симметрично расположенные. Вот такая, ну эта задача решается просто. Кулоновское взаимодействие между двумя зарядами, одинаковыми по модулю, но разных знаков, оно очевидно. В этой системе двух зарядов эта тоже плоскость имеет нулевой потенциал в силу симметрии задачи. А стало быть, вот в этой вспомогательной задаче во всем верхнем полупространстве выполняются те же самые условия, что и в этой исходной задаче. И значит, мы можем сказать, что если мы решим вот эту задачу, а решить ее совсем нетрудно, да? Это просто поле двух точечных зарядов, ну, двух маленьких шариков, фактически точечных зарядов. Сразу можете отыскать вот такое вот поле. Какое-то оно будет вот такое, да, приблизительно. Ну вот, и сила взаимодействия этого заряда, вот этого заряда с плоскостью точно такая же, как сила взаимодействия вот этого заряда со своим изображением. Это как бы зеркальное изображение проводящей плоскости. Ну вот это пример такой задачи, где можно догадаться, опираясь на теорему единственности, перейти к другой, гораздо более простой задаче, а потом уже... Но при этом должны мы воссоздать исходные граничные условия. В нашей первой, исходной задаче. Вот здесь это происходит. Таких задач не очень много Ну, и задачи с плоскостью проводящей, с комбинацией, моет угол какой двугранный. А еще есть задача со сферой. Вот у вас в «задавальнике» тоже есть вот такая вот комбинация: заряд точечный и сфера проводящая. Вот там тоже оказывается, что действие этой сферы можно заменить точечным зарядом, эквивалентно действию точечного заряда, если сфера у нас, ну, если сфера имеет нулевой потенциал. Такая задача есть, вы ее будете решать. Это тоже задача на изображение. Как бы в сферической поверхности заряд, который находится вне ее, как бы изобразился, и получился внутри точечный заряд, эквивалентный действию всей этой сферы. Ну вот такая вот ситуация. Больше по этому вопросу я говорить особо ничего не буду. Но вот еще раз повторяю, что мы должны с вами уверовать, вот так бы я даже сказал, в теорему единственности. Хотя понятно, что за недостатком времени заниматься вот таким строгим доказательством для всех случаев мы с вами здесь не можем, это не требуется по нашей программе. Вот такая ситуация.
