В курсе рассматриваются применения закона электромагнитной индукции и базовые закономерности колебаний в электрических цепях. Студенты познакомятся с описанием свободных и вынужденных колебаний, квазистационарных процессов, получат представление о спектральном разложении и принципах работы параметрических и автоколебательных систем. Учебный материал основан на лекциях и семинарах по общей физике, читаемых студентам МФТИ в третьем семестре. Лекционный материал сопровождается наглядными демонстрациями. Для закрепления знаний и получения навыков решения задач в конце каждой недели студентам предлагается решить проверочные задания в виде теста и четырех задач. Итоговая контрольная работа помимо основного блока заданий содержит задачи повышенной сложности, которые в разное время предлагались студентам МФТИ на семестровых контрольных работах.
Лекция 5.1. Параметрическое возбуждение электромагнитных колебаний
Loading...
來自 Moscow Institute of Physics and Technology 的課程
Переходные процессы в электрических цепях
3 個評分
從本節課中
Параметрические колебания и автоколебания
Параметрическое возбуждение колебаний. Понятие об автоколебаниях. Обратная связь. Условие самовозбуждения. Роль нелинейности.
與講師見面
Станислав КозелПрофессор, доктор физико-математических наук
Кафедра общей физики МФТИ
Владимир ОвчинкинДоцент, кандидат технических наук
Кафедра общей физики МФТИ
Андрей ГавриковДоцент, кандидат физико-математических наук
Кафедра общей физики МФТИ
Значит, сегодня мы с вами познакомимся с двумя способами
получения незатухающих электрических колебаний.
Ну эти способы называются вот так.
Первый из них – это параметрическое возбуждение колебаний,
а второе называется, ну так, такое название есть, автоколебательные процессы.
Вот так.
Общее название всех тех процессов, которые позволяют получать незатухающие колебания.
Вот на первом часе мы с вами познакомимся с параметрическим возбуждением колебаний.
Что это такое?
Оказывается, что незатухающие колебания можно получать,
если периодически менять какой-то параметр колебательной системы.
Мы с вами попробуем понять,
как работает электрическая параметрическая система.
Мы идеализируем задачу до предела,
и вот сейчас я хочу… Мы применим энергетический метод рассмотрения.
Мы попробуем понять,
почему возникает накачка энергии вот в колебательную систему.
Ну а мы рассмотрим вот такую систему, ну обычную.
Вот есть просто колебательный контур, значит,
есть резистор некоторый – это R, вот это ёмкость c,
но индуктивность L есть периодическая функция времени.
Какая-то внешняя сила меняет эту индуктивность,
и вот нам нужно понять, почему может происходить накачка энергией.
И в некоторых случаях накачка такова, что она превышает
потери в этой системе, ну и поэтому возникают незатухающие колебания.
Как мы будем рассматривать задачу?
Давайте вот нарисуем такой график.
Вот я здесь… Вот такая, вот такой график.
Это время t.
И предположим, что в этой системе уже совершается какой-то,
совершаются какие-то небольшие колебания тока.
И вот я нарисую здесь эту кривую.
Допустим, вот какой-то вот такой процесс колебаний тока.
Я хочу вам показать, что при определенных условиях амплитуда тока будет возрастать.
Значит, ну вот мы давайте предположим… Это вот ток,
давайте я вот нарисую стрелку, это вот зависимость тока от времени.
А здесь же, на этом графике, я изображу идеализированную
зависимость индуктивности от времени.
Вот сейчас я специально её изображу в виде скачкообразного процесса для того,
чтобы рассмотрение наше было наиболее простым.
И вот мы рассмотрим такую задачу.
Вот некоторое значение, это некоторый график,
на котором изображена изменяющаяся во времени индуктивность.
Вот предположим, что в начальный момент времени индуктивность
скачком изменяется на некоторое ΔL.
Вот, скажем, вот скачок, причем индуктивность в этот момент уменьшается.
А дальше вот она остается постоянной,
и вот, когда ток оказывается равным 0,
как раз в это время индуктивность скачком возвращается к прежнему значению.
Дальше мы дожидаемся,
пока достигнут следующий максимум тока.
Ну у меня тут немножко вот график идет так.
И вот в этот момент мы снова индуктивность уменьшаем до нуля.
Ну и так далее.
Вот такой вот процесс, вот посмотрите, пожалуйста, вот такой процесс и так далее.
Если предположить, что индуктивность меняется по такому специально придуманному
закону, чтобы всё рассмотрение было наиболее прозрачным,
то легко понять, почему происходит накачка энергии.
Ну, во-первых, я сразу скажу вам, что накачка энергии в колебательную систему
происходит вот в этот момент, ну и в следующий вот в этот момент.
Значит, если вот мы нарисуем, отметим здесь период
колебаний тока… Значит, это вот есть L (t), да?
Период колебания тока,
то период изменения самой индуктивности… Вот я через букву τ обозначу.
Он вот такой вот.
В данном случае, период изменения индуктивности в
два раза меньше периода колебания тока.
Ну такой специализированный случай.
Почему здесь происходит накачка энергии?
Вот в этот момент именно при уменьшении индуктивности?
Вот мы это и сейчас с вами попытаемся понять.
Ну прежде всего, значит, здесь,
на этом придуманном специально графике скачки индуктивности.
Что происходит в момент такого скачка?
Какая величина остается постоянной?
Ну для этого вот мы такое вспомогательное рассмотрение.
Давайте напишем уравнение колебательного контура.
Это будет dф, да?
dф / dt, это есть ЭДС индукции, + там,
+ R, RI ну вот давайте напишем так, RI + q / c = 0.
Да? Вот в таком виде можно записать это
уравнение.
Давайте умножим это всё на dt, все члены,
и проинтегрируем за время вот такого скачка.
Ну сначала будем предполагать, что это время конечно, но очень маленькое,
а потом перейдём к пределу.
Значит, это будет вот так.
Значит, будет интеграл вот за время Δt,
а здесь будет dф / dt,
ну и вот на dt + интеграл тоже за время
этого скачка, RI * dt и + вот третий
интеграл за время скачка вот q / c на dt.
Вот так.
Ну и всё это равняется 0, вот я здесь напишу.
Что же получится?
Вот здесь первый член перейдет в некоторое Δф,
это изменение потока,
пронизывающего вот нашу катушку за это малое время Δt.
Ну второй член R * dt это есть заряд,
который протечет по системе.
Значит, здесь будет R * Δq, да?
Ну а третий член мы так и оставим, как он есть,
+ интеграл от Δt, q / c на dt.
Ну и всё это равно 0.
Ну и вот теперь давайте сделаем предельный переход.
Если мы сделаем предельный переход, когда время такого скачка стремится к нулю,
тогда окажется, что Δq, оказывается,
стремится к нулю и вот этот интеграл,
который третьим вот здесь, в этой строчке, да?
qdt – это тоже, поскольку q конечная величина, то он тоже стремится к нулю.
И вывод такой, что в этом случае, если,
если Δt стремится к нулю,
тогда Δф тоже стремится к нулю.
То есть короче, это ф константа.
Отсюда следует, из такого, ну очень довольно беглого рассуждения,
что при быстрых скачкообразных изменениях индуктивности,
ну в любой системе, остается постоянным поток, который её пронизывает.
А поток – это произведение коэффициента самоиндукции на ток.
Так вот для того, чтобы… Ну я могу и так записать.
L² * I² / 2L.
Ну и вот здесь я уже, у L, которая находится в знаменателе,
я и поставлю аргумент, это некоторая функция времени.
А вот это есть, это есть ф².
Вот эта величина остается,
при скачкообразном изменении индуктивности, постоянной.
Ну а стало быть, взять ну можно Δwm посчитать,
это будет −L² I² / 2L²
* ΔL.
Вот что будет.
Как связаны изменения магнитной энергии,
запасённой в катушке, с изменением самой индуктивности,
причём скачкообразным изменением самой индуктивности.
Ну это всё будет равняться −I² / 2 *ΔL.
Значит, какой знак должен
быть у ΔL, чтобы энергия возрастала?
Энергия катушки возрастала?
Ну, очевидно, ΔL должно быть меньше 0.
Значит, увеличение энергии, вот положительное значение Δm,
Δwm возникает, когда индуктивность уменьшается,
то есть именно в те моменты, которые я здесь нарисовал на этом графике.
Вот в эти моменты индуктивность уменьшается, а в момент Моменты,
когда значение индуктивности возвращается к прежнему уровню,
а это происходит тогда, когда ток
проходит через ноль, там ничего с энергией не происходит, да?
Значит, никакой внешней работы не совершается.
Кстати, а за счёт чего растёт магнитная энергия катушки?
За счёт того, что то устройство, которое меняет эту индуктивность,
совершает работу положительную над этой катушкой, да?
Ну вот отсюда следует, что, вот меняя периодически,
вот как нарисовано на доске, скачкообразно индуктивность,
мы можем, подобрав период t,
ну τ период изменения индуктивности, согласовав его с периодом самого
колебательного процесса в этом контуре, мы можем получить накачку энергии.
Что нужно для того, чтобы понять, будет ли раскачиваться процесс,
или он всё-таки не будет раскачиваться,
а после каждого возбуждения будет затухать?
Что должно быть, какое условие выполнено?
Ну давайте попробуем это условие сосчитать.
Ну вот здесь, в этой формуле, чтобы нам в дальнейшем не возиться со знаками,
давайте во всех последующих формулах примем,
что ΔL, вот модуль, будем обозначать так же, как раньше.
Я надеюсь, вы не спутаете это.
Значит, чтобы с этим знаком «−» не возиться.
То есть мы приходим к выводу, что ΔL должно быть вообще отрицательно.
Ну вот давайте вот и обозначим модуль этого отрицательного значения,
этого скачка, через ΔL.
Тогда за период… Вот давайте напишем так: за время T,
за время одного периода, за время периода здесь вот,
в этой картинке дважды происходит накачка энергии,
поэтому ну, скажем так,
ΔWm уже за период T.
Это за один скачок то, что мы сосчитали.
А за период T будет равняться просто… Во-первых,
давайте… Я, наверное, ещё должен сделать оговорку.
Давайте вот здесь вместо I запишем амплитудное значение этого тока,
поэтому формула примет такой вид: I²… Давайте я поаккуратнее напишу.
Здесь будет I² * ΔL.
Ну а ΔL — это величина положительная, на самом деле, и так мы обозначили её.
Значит, вот эта накачка энергии за период одного колебания.
А сколько энергии за период будет растрачено на джоулево тепло?
Там же есть резистор в этой, в этой схеме, неизбежные потери.
А напишу, ΔQ.
Давайте вот здесь напишем: тепло — вот так, чтобы было ясно, о чём речь идёт.
Потому что буква Q ещё употребляется для
обозначения добротности колебательной системы.
Ну здесь мы специально покажем.
Это будет вот что такое — это будет будет RI² / 2, умноженный на период.
RI² / 2 это есть мощность джоулевых потерь.
А если мы умножим на время,
то есть на период, мы получим с вами расход энергии,
джоулевое тепло, выделившееся за период колебательного процесса.
Ну и теперь осталось записать, это очень просто уже.
Нужно написать условие самовозбуждения.
Вот так называется та формула, которую я сейчас собираюсь написать.
Условие самовозбуждения.
А смысл его такой — это превышение накачки энергии над потерями.
Ну вот давайте напишем.
Нужно, чтобы I², чтобы I² * ΔL,
то есть ΔW за период,
и здесь давайте мы тоже отметим вот здесь, за период, ΔT за период,
ΔQ за период должно быть больше или равно
RI² / 2 ну и вот * T, да?
Вот условие самовозбуждения.
Равенство означает балансу, сколько внешняя сила накачает энергии,
столько и будет перекачано в тепло.
Ну а если знак неравенства, если накачка превышает,
тогда возникнет незатухающий процесс.
Ну вот здесь бросается в глаза, в первую очередь бросается в глаза,
что вот I² из этого условия уходит.
Это, если поразмышлять немножко,
это очень опасная штука,
потому что превышение накачки над расходом
энергии не зависит от уже имеющегося тока,
то есть система будет идти вразнос.
Всё время, какой бы ни был ток,
всегда накачка превышает, если это условие выполнено.
И, стало быть, такая система неизбежно взорвётся,
перегорит или что-то с ней должно случиться.
Значит, вот такой вопрос из такой простой формулы, а именно потому,
что уходят значения амплитуды тока из формулы,
из этого условия, приводят нас к такой вот печальной мысли,
что такая система работать не может, она взорвётся.
Да? На самом деле она не взрывается.
Ну давайте сразу ответим на этот вопрос: почему
всё-таки работают параметрические устройства?
Как в механике тут мальчик, качающийся на качели,
так сказать, не переворачивается, и его качели не забрасывают куда-то,
не сбрасывают с себя, и он не улетает в бесконечность и так далее.
А электрические параметрические машины,
вот одна из конструкций находится перед вами, они тоже, в конце концов, работают.
Почему?
Почему раскачка не идёт до бесконечности?
Ответ здесь должен быть такой: потому что
вступают в силы какие-то нелинейные процессы.
Ну например, если речь идёт о вот о таком контуре, ну, собственно,
мы о нём и говорим, то при больших колебаниях тока сопротивление
начинает греться, значение R начинает расти,
но и, стало быть, добротность падает, да?
Поэтому не доходит дело до полного разноса всей этой системы.
Какой-то нелинейный механизм остановит рост амплитуды.
А давайте вот эту формулу приведём к более удобному виду.
Я предлагаю поделить левую и правую часть на
среднее значение L, тогда получится слева ΔL / L.
Вот получится вот такое отношение.
Значит, ΔL / L должно быть больше, ну или равно,
а здесь будет (R / 2L) * T, конечно.
Что такое R / 2L?
Давайте будем вспоминать.
Что для колебательного контура представляет такая комбинация параметров?
R / 2L?
Это коэффициент затухания, да?
Значит, это коэффициент затухания.
Вот эта правая часть равняется δT.
Ну, а если продолжить это дальше и вспомнить определение
добротности, то это получится π / Q.
Вот это Q уже обозначает добротность этой системы.
Ну и вот давайте посмотрим,
сильно ли нужно менять это относительное изменение индуктивности, да?
Если добротность задана.
Ну вот давайте как-то прикинем просто.
Ну, допустим, добротность… Ну вверху стоит π, поэтому, чтобы всё сокращалось,
давайте предположим добротность равна 60, например, да?
Ну такую добротность мы вот видели здесь здесь в наших опытах.
Колебательный контур имел добротность около 30.
Ну если сделать его получше, он будет иметь добротность ну 60, например, да?
Тогда здесь вот π / Q — это будет 1/20,
то есть нужно менять ΔL / L на 5 %, да?
Вот если при таком значении добротности и при изменении
индуктивности более чем на 5 %, вот такие колебания могут возникнуть.
Ну это первый вопрос.
А второй вопрос такой.
Ну вот, видите, здесь нарисована,
нарисована кривая — это колебание тока.
Это колебание тока в этой системе перед тем, как мы начали раскачивать её дальше.
Но ведь мы не собираемся это делать?
В параметрических машинах никто не толкает.
На качелях это можно сделать.
Мальчик на качелях может оттолкнуться и создать начальную амплитуду колебаний,
а потом, если, так сказать, условие возбуждения выполняется,
качели будут дальше раскачиваться.
Но в электрическом случае никто же это не делает.
Откуда берется начальный толчок, начальное колебание возмущения?
Конечно, в реальной жизни не существует условий,
когда бы не было каких-то внешних возмущений.
Всегда есть какие-то, какие-то тряски помещения, возмущения,
связанные с наличием транспорта, там, каких-то процессов в земле и так далее.
Ну вот, но есть и другие процессы.
Вот как вам кажется, вот этот маятник, если он успокоится,
он будет идеально спокоен или нет?
Вот, допустим, у нас ничего не происходит, никаких грубых возмущений нет,
там, автомобили в Долгопрудном и в окрестностях не ходят,
не бегают, земля не трясется, маятник висит спокойно.
Как вам кажется, он на самом деле в абсолютном покое находится?
Но это колебательная система, да?
Находящаяся в тепловом равновесии с окружающей средой, то есть с воздухом.
Какая средняя энергия приходится на одну,
среднетепловая энергия приходится на одну степень свободы?
Помните вы еще это?
Но это колебательная степень свободы.
Значит, на такую степень свободы приходится средняя энергия теплового
движения ТкТ, а их здесь две, потому что две поляризации: может колебаться,
маятник может колебаться в двух плоскостях взаимно перпендикулярных.
То есть 2 кТ — вот это, конечно, очень маленькая,
для такого маятника массивного 2 кТ — это ничтожная величина,
но это неизбежно, это всегда есть, и этого нельзя устранить.
Вот такая ситуация, поэтому ответ на второй вопрос
— откуда же берется начальное возмущение — он должен быть
таким: начальное возмущение возникает из-за
неизбежных флуктуаций тока или напряжения,
которые всегда присутствует в любой электрической цепи.
Вот это электрические флуктуации,
а мы через одну лекцию как раз будем заниматься этим процессом,
а сейчас просто констатируем: что бы мы ни делали, всегда есть какие-то
начальные возмущения, и они связаны с неизбежными процессами,
происходящими в электрических цепях, — точно так же, как нельзя устранить
флуктуации, допустим, плотности воздуха даже в равновесной системе.
Значит, вот такая вещь.
Ну что я еще хочу сказать?
Что бы ещё можно было добавить?
Конечно, вот нарисованная здесь картинка — это идеализация,
это предельно идеализированная ситуация только для того, чтобы показать вам,
откуда берется эта накачка и какие же условия самовозбуждения.
Можно, конечно, вот эту кривую траекторию для индуктивности,
конечно, выбрать другую, можно делать накачку не дважды за один период,
— вот на этом рисунке накачка происходит два раза за период,
— можно придумать такую кривую L(t),
когда накачка будет один раз за период происходить, да?
Ну и, вообще говоря, может или за n, один раз за n полупериодов.
То есть можно вот взять число n, равное τ,
— это период накачки, — поделенное на t / 2.
Вот это число n показывает, через какое количество
полупериодов происходит накачка один раз.
Ну вот, скажем, один раз за один полупериод,
а если, скажем, вот здесь вот эту часть убрать,
а вот сделать вот так вот,
то это будет не два раза, как было до этого, а один раз за период.
Вот число n, чем больше n, тем реже происходит накачка.
Ну понятно, что в этом случае условие,
условие получения незатухающих колебаний усложняется,
и вот в этом случае я просто напишу эту формулу, не буду я ее...
Ну тут, в общем, совершенно элементарно: ΔL
/ L ≥ n * (π / q).
То есть ну уж ΔL / L возрастает в n раз,
затрудняется условие получения незатухающего колебания, а n — это число,
это отношение периода накачки к полупериоду процесса,
который происходит в этой колебательной системе.
Ну вот такая вот интересная вещь.
Итак, мы констатируем, что, значит, вот вопросы, которые здесь возникают, их два.
Первый вопрос, который мы обсуждали,
это: почему такая схема не разлетается вдребезги?
Потому что у нас ток сократился в этой формуле.
Этот вопрос возник именно потому, что ток сократился.
А второй вопрос: откуда берется начальный толчок, который приводит
к дальнейшему росту колебаний, если выполняется условие?
Вот ответ на этот вопрос пока просто декларативно заключается в том,
что в контуре всегда есть неизбежные электрические флуктуации,
которые могут быть зародышем развития такого процесса.
