А что, если мы имеем дело с нелинейным устройством?
Ну, нелинейных устройств много и когда в задаче
мы встречаем нелинейное какое-то устройство и пытаемся решить такую задачу,
то трудности возрастают на порядок, а то и выше.
Нелинейные задачи по трудности намного превосходят всякие линейные задачи.
Поэтому мы, конечно,
в этом вопросе выберем с вами какую-то очень простую нелинейность, и посмотрим,
как преобразуются вот амплитудно-модулированный сигнал и сигнал,
модулированный по фазе, ну при, ну в общем, в устройстве,
которое обладает такой не очень сложной нелинейностью.
Какую же нелинейность мы с вами предположим?
Значит, мы предположим, что есть некоторое устройство,
на вход которого подается функция f(d).
Ну, мы будем под f(t) будем понимать модулированный сигнал.
А тогда на функции...
на выходе будет некоторая функция g(t).
Я надеюсь, вы помните...
это нелинейное устройство, нелинейное.
Нелинейный, что ли, ну детектор, что ли, давайте напишем...
Ну ладно, нелинейное устройство.
Нелинейная цепь, так напишем.
А на самом деле, мы будем с вами рассматривать квадратичный детектор.
В качестве такой нелинейной цепи мы будем рассматривать квадратично
преобразовательный детектор.
Зачем нужен детектор вообще в радиоприемнике?
Зачем он нужен?
Ну, я надеюсь, вы понимаете, что вот такой,
такое выражение f(t) = a *
(1 + m * cosΩt) * cosω0t.
Вот если вас спросят: «А вот здесь есть,
в этом сигнале, есть ли сигнал звуковой частоты?».
Ну, будем предполагать, что ω0 — это, скажем, звучание скрипки.
То есть, Ω.
А ω0 — это радиочастота.
Есть ли в этом сигнале компонента частотой Ω?
Она есть там или нет?
Ответ вы должны, не задумываясь, говорить: «Конечно нет,
потому что там есть только такие спектральные компоненты».
ω0 ±...
и ω0 ± Ω.
Вот такие три спектральные компоненты.
Ну, а мы ведь хотим, как бы, чтобы в нашей аппаратуре,
в конце концов, было выделено колебание частоты Ω, да?
И вот для этой цели и служат всякие нелинейные преобразователи,
в частности, квадратичный детектор, который не очень хорошо работает,
но зато формулы хорошие получаются, вот поэтому мы на него и посмотрим.
Что такое...
что он делает?
Вот, как выражается функция g(t)?
Это вот что такое.
Ну во-первых, функция f(t) возводится в квадрат.
Он квадратичный, поэтому вот квадрат.
Это уже нелинейная операция, да.
Дальше, вот этот квадрат функции f(t) усредняется за некоторый интервал...
в течение некоторого интервала времени.
То есть, берется интеграл за какой-то промежуток времени Δt,
ну по времени, конечно.
Ну и вот здесь тоже единственное, на Δt нужно поделить.
Это среднее значение квадрата функции f(t),
усредненное за конечный интервал Δt.
Вот так написать можно таким вот образом.
f^2 (t), усредненное за Δt.
Вот так можно записать.
Вот, и мы хотим посмотреть, что будет, если в качестве функции f(d) либо такой
процесс, модулированный по амплитуде, либо процесс,
модулированный по фазе, это есть A *
cosω0t + m * cosΩt.
Вот, мы этот случай рассмотрим.
Как, что он даст?
Даст ли о нам возможность выделить частоту модуляции?
То есть, частоту, то есть, колебания с частотой Ω.
То, что нам нужно фактически, 'iii'.
Ну вот, давайте посмотрим, как тут, что тут можно получить.
Ну, теперь вот, теперь что касается времени усреднения Δt.
Ну, обычно время усреднения выбирается следующим образом.
Вот, Δt гораздо больше,
чем период радиочастоты.
То есть, 2π / ω0.
Вот такое условие.
И в то же время, это время усреднения гораздо меньше,
чем период вот частоты модуляции, вот этой частоты Ω.
Вот такие пары неравенств — это обычное условие, мы должны усреднить,
но радиочастота нам не нужна, если появятся там компоненты радиочастот,
мы их усредним, а компоненты с частотой Ω усреднять-то нельзя, да.
Поэтому, вот такой...
такие неравенства определяют выбор этого интервала времени.
Ну вот дальше, если мы рассматриваем амплитудно-модулированный процесс,
тогда вот я напишу, что это будет тогда такое.
Тогда g(t) = 1 / Δt тут будет,
да, а здесь вот интеграл, какой он будет.
Ну, от t − Δt / 2 до t + Δt / 2.
Давайте вот это выражение обозначим через A'.
Ну или просто A(t), да.
Это как бы амплитуда, медленно изменяющаяся во времени.
Тогда здесь будет вот такой интеграл, собственно говоря.
Это будет A^2(t'), ну t' — это переменная интегрирования,
* cos^2ω0 t' * dt', вот такой интеграл.
Ну а теперь вот, рассуждения такие.
Поскольку амплитуда меняется медленно,
то на интервале Δt, в силу вот этого неравенства, вот этого неравенства,
вот этого неравенства, да, амплитуда практически не успевает измениться.
Поэтому на каком-то приближении можно вытащить A^2 за скобку,
оставить под знаком интеграла только квадрат косинуса.
Такую процедуру можно сделать.
Тогда вот, получается, что, значит,
если мы это сделаем, то получится, что здесь A, но давайте,
только я на следующую строчку уже перенесу, чтобы уже поместилось.
Получится вот такое выражение.
A^2 / (1 + cos Ωt)^2,
вытащили за знак интеграла A^2.
Понятно, в силу чего?
В силу вот этого сильного неравенства.
Время усреднения мало по сравнению с периодом, вот этой звуковой частоты,
которую мы собираемся выделять.
Поэтому вытащили за знак интеграла.
А там оказалось, под знаком интеграла, квадрат косинуса,
среднее значение квадрата косинуса на большом интервале.
По отношению...
в силу вот этого второго неравенства, это уже интервал большой,
интервал усреднения, поэтому здесь получится просто 1 / 2.
Средний квадрат косинуса — это есть 1 / 2.
Вот, собственно говоря, и получилось вот такое выражение.
Что мы получим на выходе нашего квадратичного детектора?
Хороший или нет результат?
Ну на самом деле, не очень хороший, потому что нам хотелось бы получить в
чистом виде колебания вот такого вида: cosΩt.
Тогда бы устройство сработало нормально, правильно, целесообразно.
А здесь получилось вот такое, такой выход.
Ну вот здесь есть...
Только здесь я, по-моему, m пропустил, да.
Вот здесь еще m есть.
Смотрите, m стоит.
Ну вот, если речь шла бы о малой цифре, если вот m << 1,
если бы вот такой случай мы рассмотрели, то вот этот квадрат этой скобки,
он был бы равен постоянной составляющей + 2m * cos.
То в этом случае, при m << 1,
f, то есть, g(t) ≈
A^2, здесь была бы 1,
ну еще пополам вот здесь не забыть нужно.
Была бы 1 + 2m * cos Ωt, да.
Ну вот, все, что можно получить.
При малом индексе модуляции выход такого квадратичного
детектора дает частоту, вот так можно выделить частоту модуляции.
Если m не очень маленькая, то там получается квадратичный эффект.
А что такое «квадрат косинуса»?
Это какие спектральные компоненты?
Вот если бы здесь мы не пренебрегли m^2 * cos^2, какие компоненты получили бы?
Ну, постоянную составляющую плюс колебания удвоенной частоты, да.
Если косинус квадрат, вот тут мы с самого начала,
в начале лекции этой ещё раз повторили, да?
Значит вот такой детектор квадратичный,
если вот он используется для детектирования
амплитудно-модулированного колебания, то он даёт нам вообще квадратичное искажение.
Его плохо использовать.
Конечно, реально во всех приёмниках никогда такой детектор не используется,
используются какие-то другие устройства.
Ну вот.
А теперь вот давайте, ну значит, если вот рисовать картинки,
то можно примерно вот так нарисовать.
Вот у вас есть амплитудно- -модулированное колебание.
Так вот вам примерно так можно изобразить его, да?
Вот это процесс амплитудно-модулированный.
А что происходит?
Это вот, это f(t).
А g(t) какая?
g t)?
А g(t) – это просто вот если, это время вот, ось времени, здесь тоже...
вот эта ось времени t.
А g(t) – это вот такая, это огибающая, но с искажениями.
Вот я нарисую...
вот нехорошо, где моя тряпочка?
[НЕРАЗБОРЧИВО] примерно какая-то вот такая функция.
У неё искажения вот такие [НЕРАЗБОРЧИВО] Когда вторая гармоника появляется,
возникают какие-то вот такие ещё провалы.
Ну короче говоря, неточно выделяется вот эта кривая, а с какими-то искажениями.
Это вот функция g(t) вот такой вид имеет.
Ну и теперь у нас осталось некоторое время.
Давайте посмотрим, а что будет, если на такой же квадратичный детектор подать
процесс колебания, модулированное по фазе?
Ну, наверное, вы понимаете, что ничего хорошего при этом не будет, да?
Давайте посмотрим всё-таки ну формально.
Вот мы процесс модулируем по фазе, вот он здесь записан.
Мы должны возвести в квадрат эту функцию, усреднить за время Δt, да?
Вот получится такое выражение.
Значит, в этом случае, значит,
g(t) будет равняться, ну тут будет A квадрат.
Что там ещё будет?
Ну 1 / на Δt, и вот всё, что короче,
интеграл, ну вот на Δt, я вот так [НЕРАЗБОРЧИВО]
А здесь будет косинус квадрат, ну и вот аргумент,
который так вот выписан, это ω₀t + m * на косинус Ωt.
Вот такой интеграл нужно взять.
Ну понятно, что это же, поскольку Δt гораздо
больше, чем 2π / на ω₀.
То что это будет такое?
Что даст нам такой интеграл?
Он даст нам одну, даст усреднённое значение квадрата косинуса,
и поэтому в ответе мы получим просто A квадрат, деленное на 2.
И никакой зависимости от времени, никаких там других спектральных компонент,
кроме постоянной составляющей не будет.
Так делать нельзя.
Как же нам всё-таки продетектировать процесс, модулированный по фазе,
и выделить спектральную компоненту с частотой Ω?
А как это сделать?
Вот Ω нам нужна, да?
Как это сделать?
Ну тут можно фантазировать по-разному.
Но один из приёмов состоит в том, чтобы в спектре вот этого процесса,
а спектр состоит тоже из трёх компонент, ω₀ и ω₀
+ − Ω, исключить вот эту компоненту.
Как это сделать?
Ну их там три компоненты.
Нужно какое-то устройство, которое бы задавило несущую частоту
и оставила бы только две боковые компоненты.
Тогда вот, оказывается, в этом случае что-то можно получить.
И вот я, так сказать, здесь сейчас очень быстренько попробую
изложить то, что при этом получится.
Ну останется две, две спектральные составляющие,
отделённые друг от друга каким спектральным интервалом?
2Ω, да?
Но Ω большое, 2Ω большое.
А если мы вот сумму вот этих двух спектральных составляющих возведём
в квадрат, а потом усредним, как это полагается, что можно ожидать?
Что же получится на выходе?
Если мы просто берём… Кстати, когда мы возьмем эту, возьмем...
возведём сумму в квадрат, то появится член произведения одной
спектральной компоненты на другую, да?
Ну вот, вот из-за него-то и получится там некая, некая низкочастотная компонента.
Давайте я по-быстренькому вот запишу.
Вот это мне нужно… Давайте я вот здесь сейчас...
Ну ребята, поскольку тут речь идёт о, о формулах тригонометрии,
я уже как бы быстренько всё напишу, чтобы у вас перед глазами это было.
Ну сам тут не буду стараться на месте всё это воспроизвести.
Значит, в этом случае f1(t), что ли, да?
Будет равняться вот такому выражению: Am пополам, на косинус.
Значит, что здесь будет?
Ну давайте вот здесь такую скобку сделаем, косинус (ω₀
+ Ω)t + π пополам,
вот это уж совсем можно было бы собой...
можно было бы это и не рассматривать, этот фазовый сдвиг.
Ну ладно.
И плюс косинус, значит, такого выражения:
(ω₀ − Ω)t и тоже + π пополам, да?
Вот такое вот выражение.
Ну и здесь вот что останется, если убрать несущую частоту, да?
Теперь в квадрат возводим.
Ну давайте.
Что будет?
Квадрат первого члена.
Значит, f1 штрих, это f1 просто,
это штрих тут ни при чём, f1 в квадрате.
Ну вот квадрат первого члена, квадрат второго члена, да?
И их, их произведение, удвоенное произведение, да?
Ну давайте напишем.
Вот это будет вот что.
Ну A квадрат * на m квадрат пополам.
Я вытаскиваю за скобку, вот то есть здесь будет уже 4, да?
Здесь будет 4 уже.
Косинус квадрат, косинус квадрат.
Ну вот давайте уж выпишем, не поленимся: (ω₀
+ Ω) * t + π / 2, да?
Вот такой вот косинус, + косинус квадрат,
значит, второго аргумента, где стоит разностная частота, тоже + π пополам.
Ну а самое главное, конечно, это вот произведение,
удвоенное произведение, вот оттуда и возникнет нужный нам член.
Ну давайте напишем +, вот здесь напишем отдельно +, ну 2 получится, да?
Ну вот нужно выписать все эти косинусы.
Косинус … Ну ребята, давайте я всё-таки для экономии
времени вот как-то так вот напишу: на косинус второго аргумента, да?
Вот такой вот.
Это, скажем, один, а это два.
Один, два, да?
Вот так вот.
Ну теперь надо усреднять — три члена, вот первый, второй, третий.
После усреднения двух первых членов что получится?
Каждому...
первый...Мы усредняем по времени...за время большое,
по сравнению с периодом этого колебания.
Что получится после усреднения квадрата косинуса?
Получится ½, первый член даст нам ½, да?
Ну вот это (Am / 2) в квадрате, конечно, перед скобкой остаётся.
После усреднения второго члена ну вот тоже получим половинку.
А после усреднения третьего члена?
Здесь стоит произведение косинусов.
Что будет, если мы это усредним, да?
Тут нужно это произведение косинусов разных частот представить каким образом?
Как косинус, как половинка косинуса суммы плюс половинка косинуса разности, да?
Так вот что же будет?
Давайте напишем это.
Плюс, будет вот такое выражение, я сейчас напишу его.
Ну здесь будет, во-первых, 2, да?
А ещё появится половинка, потому что произведение
косинусов выражается через сумму косинусов с коэффициентом половинка.
А дальше будет вот такой интеграл за время Δt.
Вот сейчас я напишу.
От косинуса… Чего тут будет?
Двух...
от такой суммы 2ω₀t + π / 2.
Вот такой будет * на dt, да?
Вот такой интеграл будет, и плюс ещё...
вот здесь нужно вот какую-то скобку поставить вот тут.
[НЕРАЗБОРЧИВО] скобках.
А здесь будет косинус, то есть ещё один интеграл за
время Δt от косинуса.
Ну от чего?
Какой косинус тут будет?
2Ωt и тут вот плюс π пополам.
Вот такой вот будет интеграл.
Вот эта формула, которую я сейчас записал, она откуда возникла?
Она возникла из-за того, что… Ну и что здесь дальше?
Дальше вот такую скобку.
Она возникла из-за того, что это произведение косинуса мы представили как
сумму косинусов Ну теперь интегралы написали, взяли интегралы.
Ну видно, что вот этот интеграл после усреднения, что он даст?
Если это колебания удвоенной частоты, что получится?
Получится, получится 1 / 2, да?
После усреднения.
Нет, ну я извиняюсь, это только если мы это усредним, это я неправильно сказал,
тут же не косинус, косинус усредненный.
Что он даст?
Среднее значение косинуса — что это такое?
Ноль, да?
Ну вот, значит, это вот даст ноль.
А вот это усреднение косинуса низкочастотного
ну даст нам просто ну, допустим,
после усреднения получится 1 / 2, я сейчас напишу здесь,
* cos 2Ωt.
Вот что получится после такого усреднения.
Ну только, наверное, я здесь, ребята, значит, не писал.
Что я не написал здесь?
1 / Δt вот здесь нужно написать, да?
1 / Δt.
Ну и, наконец, вот, короче говоря, вот сейчас я уже напишу
окончательный ответ, окончательный ответ.
Получается такое выражение, что в этом случае g(t)
= (Am / 2)²,
а здесь будет (1 + cos 2Ωt).
Вот получается окончательный ответ вот такой.
Ну это более-менее понятно было на пальцах.
Две синусоиды, помноженные друг на друга с разностью частот 2Ω, конечно,
дадут член вот такой, ну удвоенный на частоте 2Ω.
Ну я не знаю, есть ли у вас такая интуиция,
вы забыли тригонометрию окончательно, наверное, да?
Ну вот такая вещь.
Ну и что хорошего получилось?
Вот такой вот отличный детектор.
Даже если мы уберем из спектра колебания, модулированного по фазе,
уберём несущую, то все равно будет плохой результат, потому что,
оказывается, что там на выходе будет колебание удвоенной частоты.
То есть вместо, скажем, какого-то баса мы услышим тенор, да?
Ну это, конечно, условно?
Думаю, что там еще есть, там будут какие-то еще искажения, которые как
бы даже не позволят узнать, тенор это или какой-то, человеческий голос это или нет.
Ну вот такая вещь.
Ну и последний вопрос.
Уже мы его как-то частично затронули.
Ну что же делать?
Вот если всё-таки нужно детектировать колебания,
модулированные по фазе,
и выделить частоту Ω.
Ну тут, на самом деле, вроде в технике используются совсем другие методы,
о которых мы сейчас говорить не будем.
Но вообще есть некоторый способ, он тоже не очень хороший, но можно свести
дело к тому, что детектируется не вот эта функция, а вот эта.
И мы уже говорили с вами что для этого нужно сделать.
Какую трансформацию со спектром нужно сделать, чтобы вместо колебания,
модулированного по фазе, получить колебания, модулированные по амплитуде?
Ну если мы с вами предполагали, что у нас есть возможность вообще устранять
несущую частоту, так давайте сделаем по-другому.
Сначала мы ее выделим, изменим ее фазу на π / 2, а потом снова вставим в колебания.
Что это будет?
Если мы изменим фазу несущую на π / 2, то вместо колебания,
модулированного по фазе, мы получим колебание, модулированное по амплитуде.
Конечно, как мы видели, это тоже не очень хорошо,
потому что получается то же квадратичное искажение,
но тем не менее хотя бы можно выделить вот при малом индексе модуляции,
можно выделить частоту, спектральную составляющую частотой Ω, да?
Значит, вот примерно какой круг вопросов
