Давайте рассмотрим ещё один пример спектров,
это задача, значит, 11.
3 б, следующий пример.
Теперь уже пойдет непериодический сигнал.
Посмотрите, как выглядит этот сигнал.
Просто прямоугольный импульс, одиночный.
Всё то же самое, что в прошлый раз,
там была периодическая последовательность таких импульсов.
Это одиночный импульс f (t), вот это ось t,
длительность импульса, ну вот здесь + τ / 2,
это −τ / 2, амплитуда A.
Вот найти спектр непериодического сигнала,
то есть прямоугольного импульса длительностью τ.
Ну здесь уже никаких рядов не получится,
здесь будет такая вот, она называется интегралом Фурье.
Представимо этот (iii) сигнал, вот f (t),
который вот есть просто постоянная величина в пределах от −τ до +τ пополам,
представимо следующим образом.
Как интеграл Фурье, от −∞ до +∞,
некая g (ω) e (в степени i
ωt) dω,
вот так можно представить этот сигнал.
В свою очередь, вот амплитуда этих спектральных компонентов,
а эти спектральные компоненты представляют собой уже континуум,
не какие-то конкретные, вот дискретный набор значений частот,
гармонических компонентов, а целый континуум.
,То есть любой представитель в каком-то диапазоне.
Давайте посмотрим, как это выглядит.
g (ω) по теореме, соответствующей теореме Фурье,
вычисляется таким образом: 1 / 2π интеграл от −∞ до +∞,
в данном случае уже f (t),
на e (в степени −iωt) dt.
Вот по этой формуле можно вычислять
уже соответствующие спектральные компоненты.
Значит, здесь есть некая особенность.
Допустимо писать 1 / 2π вот здесь, в этом представлении самого сигнала,
а здесь тогда будет 1, либо тут, либо тут.
Допустимо писать вот здесь −e в степени iωt,
а здесь, наоборот, плюс.
Мы выбрали вот в нашем задачнике, которым вы пользуетесь,
мы выбрали именно такое вот представление.
Значит, спектральная компонента соответствующая,
1 / 2π f (t) * e в степени −iωt.
И теперь просто её подсчитываем.
Ряд ω.
В данном случае A / 2π,
подставляем это значение, а пределы интегрирования,
конечно, сократятся, от −τ / 2 до +τ / 2 * e (в
степени −iωt) dt.
Ну вот далее надо взять этот интеграл,
он берётся так же просто, как в предыдущем примере.
A / (2π − iω),
значит, e в степени −iω t в
пределах от −τ / 2 до +τ / 2.
Вот что у нас получилось в результате интегрирования,
то есть экспоненты повторяются, единственное,
то что нужно поделить ещё на вот этот вот коэффициент в этой экспоненте.
Ну и посмотрим, что же в итоге получается.
Опять получается синус.
Это легко видеть.
Значит, можно вот здесь разделить на 2,
ну вот я таким цветным мелом добавлю вот эту двойку,
вот сюда поставлю двойку и сюда поставлю двойку, это для того,
чтобы это всё как-то вот представить, это безобидное такое дополнение,
ну вот получается 2A / 2πω,
покамест всё вот так,
здесь (e в степени iωτ
/ 2 − e в степени −iωτ / 2) / 2i.
Вот что получится.
Понятно, что это синус.
И тогда это можно представить следующим образом.
Aτ / 2π, а здесь будет
sin (ωτ / 2) поделить,
соответственно, так же на ωτ / 2.
То есть получается такая огибающая типа синуса x на x.
Давайте изобразим это уже от ω ну вот на
соответствующей, соответствующем графике.
Это ω, ну есть характерные точки, вот это точка 2π / τ,
точка 0, ну ещё где-то здесь 0.
Здесь так же симметрично будет
−2π / τ, ну и так же где-то и здесь в таком же вот удалении.
Короче говоря, здесь некая амплитуда, амплитуда этой функции,
вот она, Aτ / 2π, ну картинка выглядит следующим образом.
Вот она.
Это спектральная компонента g (ω).
В основном как бы вся мощность этой спектральной компоненты
находится вот в пределах вот таких, вот Δω.
Главного вот этого максимума.
Но, на самом деле, интерес представляет именно мощность
спектральной компоненты, это всё-таки амплитуда соответствующая,
как распределена амплитуда соответствующих спектральных компонент
разложения вот этой, этого непериодического сигнала в спектр.
Это амплитуды, а интерес представляет
собой вот что.
Квадрат модулей этой величины.
[ПИШЕТ НА ДОСКЕ] И тогда квадрат модуля это будет вот то, что,
во-первых, больше 0, вот она ω,
это уже будет интенсивность соответствующей спектральной компоненты,
она так и называется, спектральная интенсивность,
интенсивность сигнала,
который мы рассматриваем, одиночного сигнала.
Вот точно так же беру вот эти отрезочки и
рисую эту функцию.
Вот у меня получается так.
Значит, сюда.
У нас получается выше, потому что
такими вот нулями, вот это уже (iii),
вот спектральная интенсивность этих компонент.
Ну тут, понятное дело, здесь вот надо написать,
что Aτ / 2π²,
это вот мощность компоненты, здесь вот...
там, где находится главный максимум.
Ширина, ну как я уже говорил, Δω.
Ну чему она равна, ну я уже определил, где эти нули.
Δω * τ в данном случае = 4π.
Видите, вот уже в этом примере,
там у нас было Δω * τ = 2π, здесь 4π.
Ну здесь вот, что называется,
совершенно наглядно видно соотношение неопределённости.
Вот длительность этого сигнала, а его длительность равна τ,
чем больше эта длительность, тем меньше Δω.
Чем короче этот сигнал, тем больше эта ширина этого спектра.
То есть оно всё расплывается в зависимости от длительности этого сигнала.
В любом случае здесь справа стоит в данном случае 4π.
Вообще говоря, если говорить о произвольных сигналах непериодических,
произвольной формы, то, вообще говоря,
соотношение неопределённости представляется в таком свете.
Δω * τ порядка 2π.
Часто это представляют ещё по-другому.
Δf * τ, где Δf, f — это частота в герцах.
Здесь в радианах секунд, а частота в герцах.
Она порядка единицы.
Вот это общее соотношение неопределённости,
как бы охватывающее все возможные непериодические сигналы,
которые можно посмотреть их...
вот ширину их спектра, где в основном лежит их спектр.
Понятно, что здесь есть ещё и другие частоты,
но они уже всё меньше и меньше по амплитуде, поэтому ими там...
можно их не учитывать в данном рассмотрении.
Вот этот пример также мы с вами посмотрели.
Станислав КозелПрофессор, доктор физико-математических наук
Владимир ОвчинкинДоцент, кандидат технических наук
Андрей ГавриковДоцент, кандидат физико-математических наук
