Задача 10.1.
Ну имеется такая вот, такой сердечник,
который вот он круглый такой весь из себя,
может и не круглый, ну в общем замкнутый магнитопровод.
Вот на этот сердечник
намотана катушка,
вот я эти виточки как бы изображаю, что тут много виточков.
Вот он,
подводится переменное напряжение E.
Значит n витков, вот эта n >> 1.
А есть еще один здесь же виток,
вот я его другим цветом, вот этот
виток в виде кольца такого,
который разделен на три равные части.
В виде окружности такой, на три равные части.
Вот эти три точки, я уже другим даже цветом обозначил,
A, B и C.
A, B и C.
И вот на три равные части.
И вот к точкам A и C подключен амперметр.
Вот он сейчас подключен таким вот образом.
Это измеритель тока, буква A — амперметр.
К точкам A и C.
Однако можно было бы подключить этот
амперметр еще и другим способом, к точкам A и C,
но вывернув его вот так вот, вот и вот так вот,
с другой как бы стороны.
Вот снова этот A.
У этого амперметра, есть внутреннее сопротивление r,
вот такая интересная схема.
Итак, железный сердечник имеет две обмотки.
Значит, одна питающая обмотка с большим числом
витков n >> 1.
И сюда, к этой обмотке, приложено переменное напряжение E.
А другая обмотка составляет, представляет собой кольцо,
вот это кольцо, и точки A,
B и C на этом кольце делят на 3 равных отрезка.
Сопротивление всего кольца – R заданное.
Это сопротивление кольца.
Вопрос в следующем: что покажет амперметр имеющий сопротивление r,
в случае если вот кольцо подключено вот таким вот образом,
вот тут желтая такая линия,
или вот таким вот образом, сиреневая такая линия, вот.
Сердечник будем считать не имеет...
он замкнут и рассеивание магнитного потока отсутствует.
Индуктивностью кольца предлагается пренебречь.
Значит найти, что покажет амперметр.
Ну амперметр покажет ток, который течет через него.
Значит, надо найти ток амперметра.
Значит, в первом случае и вот который желтый случай.
Значит, случай 1, вот и случай 2.
Вот чтобы понять, что тут происходит,
мы наверное вот я даже на этой доске, чтобы по-другому как бы это изобразить.
Изображу это кольцо и вот эти
две точки A и C,
ну и вот подключенный сюда, схематично амперметр.
Вот это вот здесь сейчас хорошо видно.
Здесь, поскольку у
нас есть магнитопровод и в нем действует переменный магнитный поток, вот.
И этот переменный магнитный поток пронизывает вот это кольцо,
вот оно, оно пронизывается.
То тогда, как вот везде,
образуется ЭДС индукции, индукционный ЭДС в этом кольце.
Ну например, в данный момент она направлена вот так,
это Eca, но она же,
эта же самая направлена еще вот здесь в этом витке и здесь Eca.
То есть получается, если мы начнем описывать вот этот вот контур,
он оказывается, они взаимоуничтожают друг друга.
Вот в этом весь секрет как бы решения этой задачи.
Вот.
Значит, в контуре, вот в таком, включающем амперметр,
вот в этом контуре, никакая ЭДС не действует, ее нет.
А вот в контуре всего кольца...
все кольцо, действует такая ЭДС.
Поэтому мы совершенно спокойно можем нарисовать как бы ну наши...
и написать уравнение Кирхгофа.
Значит, что у нас для первого случая?
Значит у нас есть сопротивление 2/3
R и параллельно ему сопротивление R / 3.
Вот они.
Ну а также сюда подключим амперметр.
Вот эквивалентная схема в данном случае, в случае 1.
Когда у нас непосредственно амперметр подключен сюда.
Значит, как я уже сказал, пусть...
ну можно назначить какие-то вот, обозначить токи,
которые будут действовать здесь.
Путь – это ток I.
Вот этот ток через R / 3 – I' какой-нибудь,
а вот этот I через амперметр (IA).
Вот три этих тока, ну можно писать правило Кирхгофа.
Вот я его напишу.
I = I' + IA (ток через амперметр), это первое.
Теперь, для замкнутого контура кольца, вот этого кольца,
уравнение будет таким: 2/3 RI
+ 1/3 RI' =
E / n.
То есть величина напряжения,
которой питается n витков, в одном витке, она будет в n раз меньше.
E / n.
То есть ЭДС в этом витке – она есть.
Теперь, а нам еще нужен один контур.
И этот еще один контур, должен включать в себя вот амперметр.
То есть вот это нижний контур.
Как мы его распишем?
1/3 RI' −
IA на сопротивление амперметра = 0.
Ибо в этом вот, в этом контуре вот
тот включающий амперметр, вот в этом контуре,
никакого ЭДС не действует, они направлены навстречу друг другу, нет этой ЭДС.
А здесь действует.
Вот три уравнения решающие эту задачу.
Значит осталось немножко повозиться, нам нужно найти IA.
Ну давайте и немножко повозимся.
Итак, первое что мы напишем: IA из этих
уравнений = I' * R / 3r.
Ну это откуда следует?
Вот из этого же I'.
Так, теперь, значит, можно написать для следующего вот это выражение.
Вот это распишем, что у меня тут получается?
R(2I + I')
= 3E / n.
Ну у нас 2I +
I' = 3E / nR.
Это понятно.
Отсюда ток: I = 3E
/ 2n.
R − 1 / 2 * I'.
Ну я последовательно просто делаю преобразования.
Теперь, учитывая вот первое соотношение,
что I = I' + IA, это и реализую.
Получается 3E / 2nR −
1/2 * I' =
I' + IA.
Ну I' отсюда может быть выражено так,
как E / nR − 2/3 * IA.
И теперь можно уже, поскольку I' есть,
то у меня есть IA — вот оно, вот оно и сюда
выписываем: IA — это есть I'.
I' — это (E / nR
− 2 / 3 * IA)
* R / 3r.
Вот, по существу, уравнение готово.
Отсюда искомый ток через амперметр будет
таким: IA — это есть,
ЭДС E / 3nR
(1 + 2R / 9r).
Ну вот после несложных преобразований получаем окончательно такое вот в
таком виде: 3E / n,
здесь будет (9r + 2R).
Это ответ вот для этого случая.
Значит, случай, когда вот амперметр с
этой стороны при вот, ответ для случая первого, вот случай 1.
Случай 2, когда у нас амперметр с другой стороны подсоединен,
то есть параллельно участку 2/3,
он уже будет совершенно другим, он даст другой ответ.
Вот на этой доске мы сейчас нарисуем эту схему.
Случай 2, и с ним станет всё так же понятно.
Это теперь уже R / 3,
опять-таки две третьих R — 2R / 3.
И вот теперь уже сюда прикреплён вот этот вот амперметр.
Вот с этой стороны.
Теперь уже ну здесь так же обозначим токи.
Ну, например, этот ток — значит, просто I, этот ток — I',
теперь он уже будет по-другому, а этот ток — IA через амперметр.
То есть ситуация такая же вроде бы как формально: I' + IA, однако,
ЭДС действует индукция только вот в этой части,
в кольце, но не заходит в эту часть теперь уже,
но она включает в себя уже другое, другое сопротивление.
И поэтому соотношение будет немножко другим:
R / 3 * I, правило Кирхгофа,
+ 2R / 3 * I' = E / n.
И 2/3 R * I'
− ток через амперметр на его сопротивление: IAr = 0.
И мы видим, что уравнения отличаются, они другие уже.
А раз другие, получается другой ответ.
Ну это опять-таки, если внимательно посмотреть, то можно сказать,
что ток здесь будет немножко другим.
IA во втором случае будет вот таким: 6E (ЭДС) / n,
те же самые (9r + 2R).
Ответ будет вдвое больше, в этом случае величина этого тока через амперметр.
Ну как это получить, это следует вот из этих уравнений.
Ну я это уже проделывать не буду, это можете сделать самостоятельно.
Станислав КозелПрофессор, доктор физико-математических наук
Владимир ОвчинкинДоцент, кандидат технических наук
Андрей ГавриковДоцент, кандидат физико-математических наук
