Теперь продолжим и найдем частную автокорреляцию процесса AR(1).
Я напомню его уравнение yt = 2 + 0,5yt
– 1 + εt и мы установили,
что γ1 = 0,5 * γ0,
γ2 = 0,5² * γ0 и так далее,
γk = 0,5 в степени k * γ0.
И мы у этого процесса легко сейчас найдем всю частную автокорреляционную функцию.
Поехали.
φ1 находится из системы уравнений
γ0 * φ1 = γ1,
отсюда φ1 = γ1 / γ0 = ρ1 = 0,5.
Теперь давайте найдем φ2, как выглядит φ2?
Она находится из следующего уравнения, из следующей системы
уравнений: γ0, γ0, γ1, γ1,
вспомогательная неизвестная ✶1,
и нужное нам φ2 =
γ1 = γ2.
Давайте выразим все через γ0, благо в нашем случае это легко,
и получим следующую систему уравнений: γ0 *
✶1 + γ0 * 0,5
* φ2 = γ0 * 0,5.
Здесь получается γ0 * 0,5 * ✶1
+ γ0 * φ2 = γ0 * 0,5².
Ну тут нетрудно видеть, что на γ0 можно благополучно сократить,
и получится гораздо более простая система уравнений,
а именно что ✶1 + 0,5
* φ2 = 0,5,
а 0,5 * ✶1
+ φ2
= 0,5².
И в этой системе уравнений видно,
что ежели домножить первое уравнение на
0,5 и вычесть, то получится,
что если помножить первое уравнение на 0,5,
то оно превратится в 0,5 * ✶1 + 0,25 * φ2 = 0,5².
Если вычесть из первого перобразованное второе,
то получится 0,75 * φ2 = 0.
Отсюда φ2 будет = 0.
Действительно можно это было увидеть сразу,
видно что вот здесь вот в первом ряду
коэффициент перед ✶ отличается в 0,5 раз.
И результат отличается в 0,5 раз.
Поэтому если я положу ✶1 = 0,5,
а φ2 положу = 0, чтобы мне φ2 вообще
ни на что не влияло, то получится решение этой системы.
Отсюда φ2 = 0.
Аналогично находим φ3.
Что мы получаем?
Мы получаем, давайте я сразу запишу
вот в таком виде, поскольку на γ0 можно будет сократить.
У меня получится ✶1 + 0,5 *
✶2 + 0,5² * φ3 = 0,5.
0,5 * ✶1 + ✶2
+ 0,5 * φ3 = 0,5².
И третье уравнение сразу с сокращенным γ0 получится
0,5² * ✶1 + 0,5 *
✶2 + φ3 = 0,5³.
И нетрудно заметить, что у этой системы уравнений тоже оказывается φ3 = 0.
Ну действительно, давайте посмотрим.
Если я возьму φ3 = 0,
то есть вот этот столбик у меня пропадет, то можно заметить,
что в этом случае второе и третье уравнения просто совпадут.
Потому что второе и третье уравнение будут отличаться в 0,5
раза тут: первое слагаемое в 0,5 раза больше,
второе слагаемое в 0,5 раза домножено, и результат домножен на 0,5.
Соответственно получается, что третье уравнение тогда можно будет зачеркнуть,
у меня, конечно, останется система из двух уравнений с двумя неизвестными,
но мне ее не интересно решать, собственно она нужна,
чтобы найти вот эти вспомогательные ✶1 и ✶2.
Я решать не буду, главное, что решение у нее будут.
Будет система из двух уравнений с двумя неизвестными.
Коэффициенты непропорциональны, поэтому это на
графике непересекающиеся прямые и решение точно есть, поэтому φ3 = 0.
И это не случайное совпадение
что φ1 = 0,5, а φ2 = 0 и φ3 = 0.
Давайте нарисуем простую схемку.
Вот у меня как определяется y, исходя из предыдущих y и ε.
Давайте я нарисую несколько ε: ε1, ε2,
ε3, ε4, пусть будет ε5 и y1, y2, y3 y4 и y5.
Кто на кого влияет судя вот по этой формуле?
На сегодняшний y влияет сегодняшний ε и вчерашний y.
Ну давайте нарисуем.
Значит, сегодняшний y, вчерашний ε,
вчерашний ε, сегодняшний.
Соответственно, почему,
например, вот ρ2 больше нуля, ρ2,
я напомню, в нашем примере = 0,25,
а почему при этом φ2 в точности = 0?
Ну давайте посмотрим, вот если я возьму два любых y,
отстоящие на расстоянии два периода по времени.
Возьму, скажем, y2 и отстоящий от него на два интервала по времени y4.
Что меряет ρ2?
ρ2 говорит: ну давайте мы y2 почему-то оказался вот выше среднего,
y2 был очень-очень большим.
Ну как-бы, к каким последствиям это приведет?
Если y2 был очень большим, то это будет означать, что y3 был выше среднего,
да, туда войдет еще ε, но как бы большой y2 означает,
в силу положительного коэффициента, больше, чем среднее значение у y3.
Но если y3 был выше своего среднего, то несмотря на то, что тут есть еще какая-то
случайная составляющая, конечно которая может быть отрицательной, но тем не менее.
Если y3 был выше своего математического ожидания, выше своего среднего уровня,
то мы ждем и то, что y4 будет тоже выше своего среднего уровня.
Естественно этот эффект ослабевает чем длиннее вот это расстояние
по времени между y.
То есть ρ убывает, поскольку вот эти случайные составляющие ε они
снижают выраженность этого эффекта.
То есть ρ меряет совокупный эффект увеличения y2 на y4.
А что меряет φ2?
φ2 говорит: давайте зафиксируем тот y, который посередине.
Вот теперь вот этот вот y3 фиксирован когда мы считаем φ2,
то есть когда мы считаем прямой эффект y2 на y4 при фиксированном y3.
Но естественно, если я зафиксирую y3, то если я знаю,
что y2 был выше среднего, то все что я могу сказать, ну наверное
это было вызвано тем, что y1 был выше среднего или ε был больше нуля второй.
Но из-за того, что фиксирован y3,
то воздействие y2 на y4 уже не оказывает,
потому что y4 зависит по формуле только от y3 и ε4.
И, соответственно, получается поэтому, что φ2 = 0 и φ3 = 0.
И можно, в принципе, решая систему уравнений,
подмечая закономерности доказать, что φ4 и так далее,
все остальные частные автокорреляции у AR(1) процесса также равны нулю.
Boris DemeshevSenior Lecturer
