В курсе рассматриваются: кинематика точки и твёрдого тела (причём с разных точек зрения предлагается рассмотреть проблему ориентации твердого тела), классические задачи динамики механических систем и динамики твердого тела, элементы небесной механики, движение систем переменного состава, теория удара, дифференциальные уравнения аналитической динамики. В курсе представлены все традиционные разделы теоретической механики, однако особое внимание уделено рассмотрению наиболее содержательных и ценных для теории и приложений разделов динамики и методов аналитической механики; статика изучается как раздел динамики, а в разделе кинематики подробно вводятся необходимые для раздела динамики понятия и математический аппарат.
Задача о нахождении динамических реакций
Loading...
來自 Moscow Institute of Physics and Technology 的課程
Динамика
10 個評分
從本節課中
Динамические уравнения Эйлера
與講師見面
Притыкин Дмитрий Аркадьевичкандидат физико-математических наук, доцент
кафедра теоретической механики МФТИ
Например, в следующей задаче давайте научимся вычислять динамические реакции,
возникающие в системе при помощи уравнения Эйлера.
Задача следующая.
Есть квадратная рамка ABCD со стороной a,
которая вращается вокруг неподвижной оси — вокруг стороны AB — с угловой скоростью Ω.
И есть диагональ AC, на которой размещён диск.
Размещён он таким образом, что диагональ перпендикулярна плоскости диска,
а центр диагонали совпадает с центром диска,
и диск вращается с угловой скоростью ω вокруг этой диагонали.
Необходимо выявить динамические реакции, возникающие в точках A и B.
Это точки опор.
Что такое динамические реакции?
Когда они возникают?
Они возникают тогда, когда тело начинает двигаться.
В обычном состоянии, когда тело в покое,
у нас есть внешние силы и статические силы реакции.
Соответственно, когда тело в покое,
то статические силы и внешние силы компенсируют друг друга.
А динамические реакции, получается, можно выявить из уравнений...
из закона изменения импульса и закона изменения момента импульса.
Что мы сейчас и сделаем.
Давайте покажем на рисунке, как направлены динамические силы реакции в точках A, B.
Компонента в точке B направлена вдоль стороны рамки.
Обозначим её NBx.
Компонента в точке A направлена вдоль стороны рамки — NAx.
И прочие компоненты зануляются, так как силы реакции динамические,
поэтому они возникают в ответ на вращение.
Всё вращение происходит в плоскости картинки,
поэтому и силы реакции будут также в плоскости картинки.
Вы можете более аккуратно при помощи теоремы об изменении момента импульса
доказать это.
Мы сейчас найдём конкретно вот эти компоненты для динамических сил реакций.
Откуда мы их будем брать?
Воспользуемся теоремой об изменении импульса, которая говорит,
что m * ωO = сумме этих сил реакций: NA+NB.
В проекции на направление
AD будет выглядеть как −(m * Ω² *
a) / 2 = NAx + NBx.
Одно уравнение для поиска динамических реакций мы уже выписали.
Второе уравнение получим из динамических уравнений Эйлера.
Динамические уравнения Эйлера выписываются для твердого тела,
для неподвижной точки для этого твердого тела.
Точка A будет являться неподвижной точкой для диска, несмотря на то,
что она не является непосредственно его точкой.
Почему?
Потому что она находится на оси вращения.
Поэтому, если по формуле Эйлера рассчитать её скорость, то она будет равна нулю.
Для точки A введём систему координат, в которой будем выписывать уравнения Эйлера.
Ось ζ — по оси вращения.
Оси ξ и η — в плоскости перпендикулярной оси вращения.
При этом давайте договоримся, что нам удобно
проецировать на систему координат, в которой ось η будет смотреть на нас.
Поэтому уравнение мы выпишем просто в конкретный момент времени,
когда оси расположены именно таким образом.
Давайте запишем.
Нам достаточно только второе уравнение Эйлера, которое выглядит как: момент
инерции B * q с точкой (это η-я компонента углового ускорения для твердого тела,
εη) + (A − C) *
pr = MAη (моменту динамических реакций,
посчитанных для точки A в проекции на ось η).
Обратим внимание, что это только динамические реакции, так как статические
реакции скомпенсируются с моментом от силы тяжести.
Теперь, тензор инерции для точки A можно посчитать по теореме Гюйгенса-Штейнера.
Момент инерции B в этом случае будет равен B =
(mR² / 4) + (ma² / 2).
В силу симметрия диска этот же момент будет равен моменту A.
И момент C, так как мы переносим вдоль оси ζ тензор,
то будет равен mR² / 2.
Момент динамических сил — момент силы NBx
относительно точки A — MAη
= −a * NBx.
Теперь, осталось выписать, чему равны pr и q с точкой.
Мы договорились спроецировать на систему,
в которой ось η смотрит в данный момент времени на нас.
Поэтому p, это проекция суммарная абсолютной угловой скорости на ось ξ,
= Ω * √2 / 2.
Проекция на ось η: q = 0 в данный момент времени.
И проекция на ось ζ: r = ω + (Ω√2) / 2.
Теперь осталось выписать, что такое q с точкой.
q с точкой — это η-я компонента углового ускорения.
Угловое ускорение — это произведение вектора
угловой скорости переносного движения на абсолютную угловую скорость.
В данном случае нам необходимо умножить вектор Ω векторно на вектор ω.
В результате мы получим компоненту по оси η,
равную −(ωΩ√2) / 2.
Теперь, мы все нужные величины выписали, осталось подставить их в уравнение.
После подстановки мы получим следующее: ((mR²
/ 4) + (ma² /
2)) * q с точкой
— это
−(ωΩ√2) / 2 + A − C
= (ma² / 2)
− (mR² / 4) [БЕЗ
СЛОВ] * pr,
то есть умножить на (Ω√2 / 2) *
(ω + (Ω√2 / 2)) и
равно это проекции момента динамических реакций
на ость η, то есть −a * NBx.
То есть что у нас есть?
У нас есть первое уравнение, которое связывает силы реакции NAx и NBx.
И есть второе уравнение, [БЕЗ СЛОВ]
из которого явно можно получить NBx.
Теперь, если мы преобразуем выражение, то получим отсюда,
что NBx = (mΩ
/ (8a√2) и в
скобках (4R²ω −
2√2 * a²Ω
+ √2R²Ω).
[БЕЗ СЛОВ] Компоненту иксовую
для точки A динамической реакции мы здесь выписывать не будем — она получается
простым добавлением к −(mΩ²a) / 2,
точнее вычитанием иксовой компоненты для точки B.
Таким образом, что мы сделали?
Мы воспользовались теоремой об изменении импульса,
воспользовались динамическим уравнением Эйлера, и при помощи этих двух
уравнений мы нашли динамические реакции, возникающие при движении.
Спасибо за внимание.
Задача решена.
