В курсе рассматриваются: кинематика точки и твёрдого тела (причём с разных точек зрения предлагается рассмотреть проблему ориентации твердого тела), классические задачи динамики механических систем и динамики твердого тела, элементы небесной механики, движение систем переменного состава, теория удара, дифференциальные уравнения аналитической динамики. В курсе представлены все традиционные разделы теоретической механики, однако особое внимание уделено рассмотрению наиболее содержательных и ценных для теории и приложений разделов динамики и методов аналитической механики; статика изучается как раздел динамики, а в разделе кинематики подробно вводятся необходимые для раздела динамики понятия и математический аппарат.
Геометрическая интерпретация Пуансо
Loading...
來自 Moscow Institute of Physics and Technology 的課程
Динамика
9 個評分
從本節課中
Динамические уравнения Эйлера
與講師見面
Притыкин Дмитрий Аркадьевичкандидат физико-математических наук, доцент
кафедра теоретической механики МФТИ
Итак, мы написали с вами динамические уравнения Эйлера и понимаем,
что в случае Эйлера же их интегрирование приводит к тому,
что мы должны обращать эллиптические интегралы.
Если по каким-то причинам нам этого делать не хочется,
можно обратиться к ряду геометрических интерпретаций, которые показывают,
некоторые даже достаточно наглядно, что с телом в случае Эйлера происходит.
Одна из таких геометрических интерпретаций принадлежит Пуансо,
вот о ней мы сейчас и поговорим.
Геометрическая интерпретация
[ШУМ] Пуансо.
Допустим, что у нас есть по-прежнему твердое тело с неподвижной точкой,
и в этой неподвижной точке мы, естественно,
можем построить эллипсоид инерции, который удовлетворяет некоторому уравнению,
вот такому например: вектор r * тензор в неподвижной точке * вектор r есть 1.
Вот точки эллипсоида инерции лежат на такой поверхности.
Дальше.
Давайте я схематично этот эллипсоид сейчас изображу.
Вот, допустим, эллипсоид инерции твердого тела, вот неподвижная точка O.
Оказывается, что при движении твердого тела существует некоторая плоскость,
по которой этот эллипсоид инерции катится без проскальзывания.
Вот он всегда касается ее в некоторой
точке P и катится по ней без проскальзывания, причем расстояние от
точки O до плоскости неизменно, то есть эта плоскость фиксирована в пространстве.
И еще эта плоскость устроена так, что вектор
K — вектор момента импульса — относительно неподвижной точки ей ортогонален.
Ну давайте посмотрим, как это можно доказать.
Для начала рассмотрим точку, в которой с эллипсоидом
инерции твердого тела пересекается вектор угловой скорости.
Эта точка имеет радиус-вектор
r / ω и умножить на собственно вектор ω.
Если мы подставим это выражение в уравнение эллипсоида, получим мы что?
Получим мы r / ω в квадрате * ω
транспонированное * тензор * ω = 1.
Вот это вот выражение — ω * тензор * ω — естественно,
нам сильно напоминает кинетическую энергию, разве что без двойки.
И значит, мы получим, что r / ω после извлечения
корня окажется равно 1 / корень из 2T.
Вот это первое соотношение, которое нам понадобится.
Дальше.
Дальше давайте возьмем и вычислим нормаль к поверхности эллипсоида в
этой самой точке.
Вектор нормали — это
d / dr от, собственно, уравнения эллипсоида,
r транспонированное * тензор
* r — это у нас 2
тензор * r.
В качестве r подставляем выражение для вектора OP,
где P — это точка пересечения линии угловой скорости с эллипсоидом.
Получаем — так, тензор с «крышкой»
у меня — 2 вместо r — r /
ω * тензор * ω.
Тензор умножить на угловую скорость — это у нас вектор момента импульса.
r / ω мы бы нашли — это 1 / корень из 2T.
Итого получается: 2 /
корень из 2T и * K.
Вот это выражение есть некоторая константа,
кинетическая энергия у нас сохраняется.
А это у нас — вектор момента импульса.
Таким образом, мы понимаем, что вектор нормали,
он у нас коллинеарен вектору момента импульса,
[ШУМ] вектор нормали —
к эллипсоиду в той точке, которой эллипсоид касается плоскости.
Идем дальше.
Давайте вычислим расстояние от точки O, от
точки O
до предполагаемой плоскости, по которой катится эллипсоид.
[ШУМ] Чтобы посчитать это расстояние,
нужно спроецировать OP, то есть вектор r, на направление K.
То есть мы пишем: r скалярное произведение с K,
ну и на модуль K нужно разделить.
Подставляя вместо r опять же выражение через ω,
получаем r / ω и модуль вектора K.
И здесь: ω * K, скалярное произведение.
Вот это скалярное произведение — это у нас опять же две кинетических энергии,
r / ω мы тоже уже считали.
Итого у нас получается 2T
/ — r * ω —
корень из 2T и еще K.
Тут можно все привести к более простому виду,
но уже сейчас видно, что это расстояние есть некоторая константа,
поскольку K и T сохраняются, а больше тут ничего и нет.
Итак, расстояние от точки O до предполагаемой
плоскости есть некоторая постоянная величина.
И теперь давайте поймем, что такое скорость точки P.
Скорость точки P — это у нас скорость точки O,
ну по формуле Эйлера, + ω * r,
где r — это OP практически.
Ну смотрим: скорость точки O у нас 0 — неподвижная точка,
а это два коллинеарных вектора, то есть скорость точки P у нас равна 0.
Итого: что мы имеем?
Есть некоторая плоскость, которая касается эллипсоида инерции в точке P.
И скорость точки эллипсоида, точки касания эллипсоида с плоскостью равна 0.
Расстояние до плоскости от неподвижной точки всегда неизменно,
и нормаль к этой плоскости и к эллипсоиду инерции совпадает и коллинеарна вектору K.
Таким образом, эллипсоид инерции, оказывается, катится по этой плоскости,
расстояние до которой мы можем найти.
Вот это, я считаю, дает достаточно интересное,
хорошее геометрическое представление о движении твердого тела.
Представляя, как катится эллипсоид, мы можем представлять,
и как ведет себя связанное с ним тело.
Терминологически я пожалуй еще скажу, что траектория,
которую точка касания оставляет на эллипсоиде,
называется полодией, а на плоскости — герполодией.
Возможно, мы разберем про это задачу.
Полодия и герполодия, одно «л».
Значит, полодия и герполодия.
И сейчас можно посмотреть тоже ролик, в котором показано,
как происходит качение эллипсоида по плоскости.
[БЕЗ_ЗВУКА] А
теперь переходим к практическим занятиям.
