Итак, мы с вами научились составлять уравнения движения механических систем в дифференциальной форме в силу основных теорем динамики. А теперь давайте перейдем к рассмотрению некоторых специальных задач динамики, которые у нас могут возникать. И первая из этих задач, которые имеют для нас интерес, будет движение твердого тела с неподвижной точкой, или динамика твердого тела с неподвижной точкой. На самом деле задача не так узка, как может показаться на первый взгляд, потому что, смотрите, пускай у нас есть некоторая неподвижная прямоугольная декартова система координат, и мы рассматриваем движение некоторого твердого тела. Что мы тогда делаем? Как мы договаривались? Мы пишем, что есть у твердого тела центр масс, можно записать теорему о движении центра масс. Это дифференциальное уравнение, допустим, оно как-то решится, такое бывает. Тогда мы, может быть, знаем, как движется центр масс этого твердого тела, и дальше нас интересует, что еще с твердым телом происходит. Мы тогда сможем связать с центром масс кениговые оси, например. И у нас получается, что в кениговых осях твердое тело имеет неподвижный центр масс, в том смысле, что мы уже знаем, как он движется относительно неподвижных осей. И тело вращается относительно кениговых осей, и вот именно про это вращение мы хотим что-то узнать. А теоретически мы тут можем написать теорему об изменении момента импульса, момента количества движения, и в силу этих дифференциальных уравнений понять, что с вращением происходит. Да, собственно, так мы и будем поступать, просто эту теорему принято писать в специальной форме, о которой мы сейчас поговорим. Итак, пускай у нас есть твердое тело с неподвижной точкой, неподвижную точку мы будем обозначать буквой O, имея в виду, что это необязательно центр масс. Давайте я это все перерисую. Начало системы координат [БЕЗ СЛОВ] обозначим буквой O, вот у нас неподвижные оси x, y, z — оси, связанные с телом, тоже я обозначу здесь как-то так. Их часто обозначают греческими буквами, ξ η и ζ например. И вот тут вот неподвижная точка O. И мы фактически хотим записать теорему об изменении момента количества движения относительно неподвижной точки. Как вы помните, выглядит эта теорема следующим образом. Изменение количества движения обусловлено моментом внешних сил. И поскольку точка O неподвижна, то второго слагаемого в этой теореме не будет там, где скорости. И дальше как-то так наука пришла к тому выводу, что удобно эту теорему спроецировать на оси, связанные с телом. Удобно — вектор K, как мы знаем, записывается в осях, связанных с телом, через тензор инерции — мы с вами эту формулу писали. И осталось только посчитать, как эта производная будет выглядеть в проекциях на оси, связанные с телом. Вот момент будет просто проекциями. Давайте вспомним, что у нас для этого есть. Ну во-первых, когда мы занимались кинематикой сложного движения, мы говорили: пускай у нас есть в системе xyz и в системе ξηζ два разложения одного и того же вектора — r и ρ мы их обозначали. Они, естественно, связаны через матрицу поворота ортогональную. И когда мы это дифференцируем, мы получаем r с точкой — это A * ρ с точкой + A с точкой * ρ. И дальше мы здесь переходили к вектору r, и здесь появлялось A транспонированная * r, и получалось у нас окончательно A * ρ с точкой + угловая скорость, с которой поворачивается тело * r. В принципе, речь не обязательно идет о радиус-векторе какой-то точки, точно такой же подход мы можем применить к разложениям вектора K в осях x, y, z и в осях ξ, η, ζ, И тем самым мы можем написать то, что обычно в книжках называется теоремой о локальной производной. То есть вот это у нас производная вектора r или ρ в осях, связанных с телом, а это — член показывает, как меняется вектор r за счет того, что оси, связанные с телом, поворачиваются. То есть полная производная вектора r представляется в виде суммы из двух слагаемых. Первое слагаемое показывает, как он изменяется в осях, связанных с телом, вторая — как он изменяется из-за того, что оси поворачиваются. Это переписывается в каком-то таком виде: r с точкой = d по dt от r — вот тут вот какую-нибудь «волну» можно написать в том смысле, что это локальная производная в осях, связанных с телом — + ω * r. Вот то же самое мы возьмем и напишем для производной вектора K. Давайте я обозначу, что это обычно называется «теорема о локальной, или относительной, производной. Для вектора K это будет выглядеть так: dK по dt = d по dt от вектора K + ω * вектор K. Теперь давайте вспомним обозначения, которые мы вводили. Вектор ω у нас в осях, связанных с телом, имел компоненты, которые мы обозначали p, q, и r. Вектор K в осях, связанных с телом — даже давайте так скажем, — в проекциях на главные оси инерции в точке O у нас имел компоненты: Ap, Bq, Cr, где A, B и C — это главные осевые моменты инерции тензора, построенного в точке O; p, q, r — все те же самые проекции угловой скорости на тензорные оси. И теперь я подставляю вот эти обозначения в формулу с точкой выше. Что я же получаю? Я получаю, что вместо dK по dt я могу написать производную от разложения вектора K в тензорных осях — это (Ap Bq, Cr) + вектор (p, q, r) * опять же (Ap, Bq, Cr). И все это должно равняться моменту внешних сил, приложенных к телу. Заметьте, здесь и вектор угловой скорости, и вектор момента импульса уже написаны в разложении по осям ξηζ, то есть по базису, связанному с телом. И эта производная берется внутри базиса, связанного с телом, то есть мы складываем векторы, выраженные в одном базисе. Если мы посчитаем эту производную, A, B и C — константы, p, q и r продифференцируются, получится p с точкой, q с точкой, r с точкой, раскроем это векторное произведение, итого у нас получится A * p с точкой + (C − B) * qr = проекция момента на ось ξ. B * q с точкой + (A − C) * pr = проекция момента на ось η. C * r с точкой + (B − A) * pq = проекция момента на ось ζ. Вот эту систему уравнений принято называть динамическими уравнениями Эйлера. Динамические уравнения Эйлера. Итак, как вы можете видеть, динамические уравнения Эйлера представляют из себя теорему об изменении момента количества движения, записанную в другой форме — в проекции на тензорные оси. При этом, заметьте, тензор построен в неподвижной точке, в главных осях, A, B и C — осевые моменты инерции, p, q, r — проекции угловой скорости на тензорные оси. Теперь как эту теорему, то есть как эти уравнения мы собираемся решать? Если вдруг так получилось, что момент, стоящий в правой части, зависит только от p, q, r и, возможно, времени, то эти уравнения замкнуты и их можно решать как обыкновенную систему дифференциальных уравнений и получать зависимость компонентов угловой скорости от времени. И дальше уже ее подставлять в кинематические уравнения. Если, а так бывает чаще, момент зависит не только от p, q и r, но еще и от положения тела, то есть от ориентации твердого тела относительно неподвижных осей, то эту систему придется замыкать еще тройкой уравнений, например кинематическими уравнениями в углах Эйлера или кинематическими уравнениями Пуассона для ортогональных матриц и кватернионов. Тогда эта система станет чуть больше, решать ее придется чуть сложнее. Собственно, несколько последующих занятий мы посвятим специальным случаям, в которых вот эти уравнения, динамические уравнения Эйлера, решаются отдельно. Этих случаев всего существует три, известных науке. Вот два из них мы рассмотрим подробно за счет того, что они имеют важное практическое значение, то есть часть того, что мы будем говорить, рассматривается применительно к спутникам, часть — к гироскопам. Но об этом поподробнее в следующий раз, а сейчас, наверное, можно перейти к практическим примерам, в которых будет показано, как из этих уравнений, вообще, что-то доставать.
