Nesse vídeo, vamos ver exemplo completo do projeto de
ganho proporcional do Plano-s para sistema de segunda ordem do Tipo 1.
A função de transferência malha aberta do nosso sistema é 10 sobre s,
s mais 10 e o requisito de desempenho será
overshoot de no máximo 5% com o menor instante de pico possível.
É claro que podemos escrever a função de transferência malha fechada
10k sobre s ao quadrado mais 10s mais 10k e usar as
equações 2 ksi ômega n é igual a 10 e ômega n ao quadrado igual a 10k,
com ksi igual a 0,69 para determinar ômega n e k.
Mas vamos usar o que já sabemos do lugar geométrico das raízes
para determinar o polo malha fechada e então o ganho k.
Já sabemos que para sistema de segunda ordem do Tipo 1 sem zeros o lugar
geométrico das raízes será o trecho da reta real entre o 2º polo e
a origem mais a mediana entre 0 e o 2º polo.
E o requisito de ksi de no mínimo 0,69 nos leva a ângulo beta menor que 46,37 graus.
Podemos traçar a reta com inclinação beta e ver onde ela cruza o LGR.
Esse ponto de cruzamento atendo o requisito de desempenho de
overshoot e faz parte do LGR, ou seja, é potencial polo malha fechada.
A partir do LGR e do requisito de desempenho do Plano-s, temos também que
esse ponto é o de mínimo instante de pico que atende ao requisito de overshoot.
Podemos calcular esse ponto usando o fato de que a parte real dos polos malha
fechada será menos 10 sobre 2, que é igual a menos 5 e o ângulo beta.
Podemos escrever: tangente de beta é igual a ômega d sobre 5 e ômega d
é igual a 5 vezes a tangente de beta,
onde beta é o arco cuja tangente é a raiz de 1 menos ksi ao quadrado sobre ksi.
Temos então ômega d igual a 5,25 e os polos
malha fechada serão menos 5 mais ou menos 5,25j.
E, para que isso aconteça, precisamos ter k igual a módulo
de quadradinho vezes o módulo de quadradinho mais 10 sobre 10.
Espera aí, de onde veio esse 10 no denominador?
Lembre-se de que a restrição de módulo é: módulo de G de quadradinho de k é
igual a módulo de menos 1 sobre k.
E nesse exemplo temos: G de s é igual a 10 sobre s s mais 10.
Portanto o módulo de G de quadradinho de k é o módulo de 10 sobre
o módulo de quadradinho de k vezes quadradinho mais 10.
E k, que é igual a 1 sobre o módulo de G de quadradinho de k vai ser igual
ao módulo de quadradinho de k vezes o módulo de quadradinho mais 10 sobre 10.
Calculando k, obtemos: k aproximadamente igual a 5,26.
Vamos conferir esse resultado usando o Simulink.
Execute o Matlab e crie novo modelo Simulink baseado no
template Controlita MF, ajuste o ganho para 5,26,
lembre de usar ponto no Matlab, e o Zero Pole para 10 sobre s s mais 10,
alterando o segundo polo de menos 2 para menos 10 e o ganho de 1 para 10,
altere a Transfer Function para 52,6 sobre s ao
quadrado mais 10s mais 52,6 para simular a mesma resposta.
Rode a simulação e verifique que o overshoot é de 5 por cento,
conforme requerido.
Pode alterar o valor do ganho e verificar que aumentando o ganho,
o overshoot aumenta e diminuindo-o o overshoot diminui.
Mas o instante de pico também diminui.
Então o ganho k igual a 5,26 é realmente o
que melhor atende aos requisitos de desempenho.
Acabamos de ver exemplo completo de projeto de
ganho proporcional no Plano-s para sistema de segunda ordem do Tipo 1.
No próximo vídeo,
começaremos a ver como fazer esboço rápido do lugar geométrico das raízes.