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Após esse vídeo você será capaz de escrever a representação de
circuito elétrico simples diretamente no espaço de estados.
Vamos usar nosso velho amigo, o circuito RLC.
Circuitos elétricos uma escolha bastante comum de variáveis de estado são as
tensões nos capacitores e as correntes nos indutores.
Vamos lembrar das equações dos três elementos de circuito RLC.
Para o resistor temos: VR igual a R vezes Ir; ou seja, a tensão sobre
o resistor é igual a resistência vezes a corrente passando pelo resistor.
Para o indutor temos VL igual a L di L dt; ou seja, a tensão sobre o indutor
é igual a indutância vezes a derivada da corrente que passa pelo indutor.
E para o capacitor temos Ic é igual a C d v c dt.
Ou seja, a corrente que passa pelo capacitor é igual a capacitância vezes
a derivada da tensão sobre o capacitor.
Poderíamos usar as versões integrais das equações,
mas essas versões com as derivadas não são mais úteis.
Podemos isolar a derivada da corrente no indutor e a derivada da tensão no
capacitor, ficando com d i l, dt igual VL sobre L e dv C dt igual a IC sobre C.
Desse modo se a corrente no indutor e a tensão no capacitor forem variáveis de
estado, já temos equações para a derivada do estado.
Basta conseguirmos expressá-las função do próprio estado.
Muito bem.
Para o nosso circuito RCL temos: Ir igual a IL que é igual a IC que é igual I.
VR mais VL mais VC igual a U e Y é igual a VC.
I L será nossa primeira variável de estado,
X e VC será nossa segunda variável de estado, X dois.
A partir da equação do indutor DIL Dt igual a VL sobre L,
temos X ponto igual a VL sobre L.
A partir da equação do capacitor d v c sobre d t,
igual a I C sobre C temos X dois ponto é igual a X sobre C e
podemos escrever VL como VL igual a U menos Vr, menos Vc.
Vc é o estado X dois e podemos escrever Vr como R vezes X.
Dessa forma temos: X ponto igual a menos R sobre L X menos X dois sobre L,
mais U sobre L e podemos escrever a equação de estado como: X ponto igual
a menos R sobre L menos sobre L, sobre C zero X, mais sobre L zero, U.
E a equação de saída como Y é igual a zero X.
Note que se tivéssemos escolhido Vc como X e L como X dois
teríamos: X ponto é igual a zero sobre C, menos sobre L,
menos R sobre L X mais zero sobre L U e Y igual a zero X.
Note ainda que nenhuma dessas representações é a forma de Jacksíbius..
Mas podemos a partir da equação do capacitor: I C é igual a C D V C D T
escrever I L é igual a I, que é igual a I C, que é igual C D V C D T,
igual a C Y ponto.
E a partir da equação do indutor D i L d t igual a VL sobre
L podemos escrever igual a menos R sobre L vezes I, menos Y sobre L, mais U sobre L.
Substituindo a corrente nesta equação temos: CY dois pontos,
igual a menos RC sobre L Y ponto, menos Y sobre L, mais U sobre L.
Dividindo por C, reorganizando os termos chegamos a Y dois pontos,
mais R sobre L Y ponto, mais sobre LC Y, igual a sobre LC U.
Fazendo agora X igual a Y e X dois igual a Y ponto chegamos a X ponto é igual a zero
menos sobre LC, menos R sobre LX, mais zero, sobre LC U e Y é igual a zero X.
Temos uma representação do sistema na forma de Jacksíbius..
Note ainda, que poderíamos fazer X é igual a LC Y e X dois é igual a LC Y ponto.
E neste caso, chegaríamos a X ponto é igual zero menos sobre LC
menos R sobre LX, mais zero U e Y é igual a sobre LC zero X.
Agora você já é capaz de escrever a representação de
circuito elétrico simples diretamente no espaço de estados.
No próximo vídeo veremos como escrever a representação de
sistema mecânico no espaço de estados.
Jackson Paul MatsuuraProfessor Associado
Rubens Junqueira Magalhães AfonsoProfessor Adjunto
