[МУЗЫКА] Итак, давайте обсудим, что же делает вычет, то есть коэффициент перед −1-й степенью переменная разложения, столь важным и особенным. Предположим, что функция f(z), аналитическая в некоторой окрестности своей сингулярности z0, раскладывается следующим образом. Иначе говоря, что в этой точке функция имеет полюс порядка n. Это означает, что в принципе все члены от разложения с отрицательными степенями начинаются −n-той. В какой-то момент возникает −1-й коэффициент плюс регулярная вблизи z0 части. Так вот, сейчас мы хотим выяснить, что делает коэффициент b −1 столь специальным с точки зрения, например, вычисления определенных интегралов. Для того чтобы это понять, рассмотрим контур C, который проходит вокруг нашей сингулярности z0. Для удобства выберем его в виде окружности радиуса ρ. Не очень удачный рисунок, но представьте себе, что это окружность. И вычислим теперь интеграл по контуру C от функции f(z) до z. Сразу ясно, что при подстановке этого выражения под знак интеграла аналитическая часть, регулярная часть функции вклада не даст по теореме Коши. И останутся вклады, содержащие отрицательной степени n. Ну давайте, таким образом, так как ряд конечный, можно почленно его проинтегрировать и написать, что это выражение имеет вид: сумма по n, b − n-тое интеграл по контуру C до z (z − z0) в степени n. Сумма идет от единицы до последнего ненулевого члена в этом ряде. Этот интеграл удобно вычислить, перейдя к переменной интегрирования φ, веденной следующим образом: z = ρ в степени iφ. Тогда на этом контуре ρ остается постоянным и равным радиусу окружности, а по φ происходит интегрирование в пределах от 0 до 2π. [БЕЗ_ЗВУКА] Тогда интегрирование по контуру превращается в интегрирование по углу φ от 0 до 2π. Далее, как обычно, дифференциал z = ρ e в степени iφ * φ дифференциал φ. А здесь z − z0. То есть удобно раскладывается, конечно, по отклонению от точки z − z0. И в знаменателе будет стоять просто выражение ρ в степени n * e степени inφ. И после этого уже становится ясно, что... Смотрите, перед тем как переходить к суммированию, давайте посмотрим на каждый из этих вкладов. Легко увидеть, что если n в этом выражении не равно 1, то интеграл по углу зануляется. Так как он представляет собой интеграл от синуса какой-то кратности или от косинуса какой-то кратности от 0 до 2π. И только в случае, когда n равно 1, экспоненты в числителе и в знаменателе сокращаются, интеграл по углу тривиально вычисляется, давая 2π. Таким образом, во всей этой сумме остается только член с n = 1. Вся сумма вырождается в единственный вклад. Опять же, при n = 1 ρ в числителе и в знаменателе сокращают друг друга. И всё что здесь остаётся, это 2π из углового интегрирования и фактор i из замены переменных. Таким образом, мы получили важное утверждение, что интеграл по контуру, окружающему изолированную особенность, а именно полюс n-того порядка функции f(z) [БЕЗ_ЗВУКА] равен 2πi * b −1, которые иначе называются вычетом функции в точке z = z0. Естественно, это утверждение можно обобщить до более общего. А именно, представим себе, что функция f(z), которая интегрируется по контуру C, имеет внутри этого контура несколько особых точек. И в каждой из этих особых точек есть какой-то свой вычет b −1, i. Иначе иногда удобно обозначать это символом res от слова residue, означающего вычет функции f(z) в точке z = zi. В принципе, потенциально внутри контура может быть несколько таких особых точек, в каждой из которых есть свой вычет. Естественно, контур можно сдеформировать, превратив его в суммы интегралов по контурам, окружающим каждый из плюсов. И, таким образом, записать более общую формулу, что интеграл по контуру C функции f(z) есть 2π * i на сумму вычетов в особых точках, лежащих внутри контура интегрирования. Теперь, после того как так называемая теорема вычетов сформулирована и доказана, мы можем рассмотреть несколько конкретных примеров, которые будут темой следующей части лекции. [МУЗЫКА]
