[ЗВУК] Теперь рассмотрим чуть более общий результат для разложения функций, аналитических в некоторой области, в ряды. И на этот раз мы рассмотрим ряд Лорана, который можно рассматривать как обобщения ряда Тейлора. Основное отличие состоит в том, что на этот раз мы будем рассматривать область не односвязную. А именно предположим, что есть два контура c и c', и свойство аналитичности функции f(z) мы будем предполагать только между ними, но не внутри меньшего из контуров c'. И предположим для простоты, что эти контуры представляют собой две концентрических окружности с центром в точке a, и пусть где-то между ними находится точка a + h. Таким образом, попробуем теперь вычислить значение функции f(a + h). И опять по предположению мы считаем, что функция f(z) аналитична внутри этого бублика и на двух контурах c и c', и поэтому можно воспользоваться вторым следствием теоремы Коши и написать, что функция f(a + h) — это разность двух контурных интегралов, [ЗВУК] [ЗВУК] один из которых идет по внешней окружности, а другой — по внутренней. [ЗВУК] [ЗВУК] Теперь с первым из этих интегралов поступим так же, как мы поступали при выводе теоремы Тейлора, а именно напишем, что, напишем выражение для него в виде ряда, из которого я сейчас пока опять оставлю только первый член. [ЗВУК] Здесь я напишу, ну и для полноты давайте напишем второй, подразумевая, что, в принципе, здесь стоит целый ряд. Так, и второй, второе слагаемое. С точки зрения последующей оценки величины остаточного члена, со вторым слагаемым удобнее поступить иначе. Обратите внимание, что в первой из дробей я произвел разложение по букве h, а во втором из слагаемых удобно провести разложение противоположное, по z − a, а именно перепишем этот кусок следующим образом. Поменяем знак перед дробью и в знаменателе, [ЗВУК] Первое слагаемое я пока оставлю без изменений, не буду его копировать, а второе слагаемое переразложу следующим образом. [ЗВУК] Я поступлю наоборот, то есть возьму фактор 1 / h и разложу эту дробь по степеням z − a. Таким образом, структура выражения уже становится ясна, а именно, давайте, как в прошлый раз, сначала напишем выражение для первых коэффициентов ряда, а потом обобщим их на произвольные коэффициенты ряда. Вообще говоря, структура выражения такова. Первый, первый член, получающийся из интегрирования по контуру c, имеет вид ряда по положительным степеням h, и второй член, второй вклад, получающийся из интегрирования по контуру c', имеет вид интеграла по отрицательным степеням h. [ЗВУК] Получающийся ряд, очевидно, является обобщением ряда Тейлора. Ключевое свойство, ключевое свойство, отличие от предыдущего состоит в том, что мы не предполагаем аналитичности функции f(z) во всей внутренней области внешнего контура c. Это приводит к тому, что, вообще говоря, в разложении по степеням h появляются члены с отрицательными степенями. Но перед тем, как эту ситуацию осознать на примерах, давайте все-таки выпишем выражения для коэффициентов. А именно по-прежнему, например, a0 является всего лишь проявлением знакомой нам теоремы Коши, [ЗВУК] и соответствующее обобщение имеет вид, обобщение в смысле произвольного коэффициента ряда. [ЗВУК] Теперь давайте проанализируем второе слагаемое, которое происходит из контура c'. И мы видим, что коэффициент b1 есть просто интеграл, [ЗВУК] и точно так же легко отследить судьбу старших вкладов, пропорциональных 1 / h в положительных степенях, в более высоких положительных степенях, получив bn равно. [ЗВУК] [ЗВУК] Давайте, сразу можно заметить, что это разложение, называемое разложением Лорана, легко превращается в уже знакомое нам разложение Тейлора. А именно если внутри контура c нет никаких сингулярностей функции f(z), то есть она аналитична во всем контуре c, то контур c' исчезает, а, в частности, это проявляется в том, что все интегралы, определяющие коэффициенты b, оказываются равны нулю. Действительно, все подынтегральные выражения в соответствующих выражениях для этих коэффициентов оказываются аналитическими функциями. Если f(z) аналитично, то f(z), умноженное на произвольной степени (z − a), отрицательной степени (z − a), тоже аналитично, и все коэффициенты просто тождественно зануляются, и мы возвращаемся к разложению Тейлора. Однако в более общей ситуации, когда внутри контура c есть какие-то сингулярности, точки неаналитичности, их можно окружить контуром c', и тогда просто разложение Тейлора дополнится до разложения Лорана. Давайте, чтобы провести более четкие параллели, давайте, например, посмотрим на выражение для n-ных коэффициентов в ряда a. Как вы помните, в теореме Тейлора оказывалось удобным связать выражения для коэффициентов an с производными функции f в точке a. В данном случае такой связи нет просто потому, что мы не предполагаем аналитичности функции внутри контура c'. Однако более общие выражения в виде контурных интегралов по c и по c' остаются в силе. В этом сила разложения Лорана, и давайте посмотрим, как оно работает на конкретных примерах. [ЗВУК]
