На этом семинаре мы рассмотрим на конкретных примерах приложение всех обсужденных теорем. Начнем мы с того, что посмотрим, как конкретно может быть устроено применение теоремы Коши и разложение Тейлора. Представьте себе, что в комплексной плоскости переменной z задана окружность единичного радиуса, и вам известны значения функции f (z) на этой окружности, назовем ее также контуром C, который задан следующим образом. Естественно, этот контур можно просто запараметризовать аргументом переменной z. [БЕЗ_ЗВУКА] Рассмотрим функцию, которая на границах контура задана такими значениями. И по определению является функцией, которая аналитична на контуре и внутри него. Давайте зададимся вопросом — как восстановить значение аналитической функции внутри контура, зная значение на его границе. В принципе, ответ на этот вопрос дает теорема Коши, и восстановление аналитической функции в данном случае однозначно. Мы должны просто написать, что в произвольной точке внутри контура f (z), заданной интегралом, [БЕЗ_ЗВУКА] где z' лежит на контуре C. Формально можно поступить таким образом, вычислить этот интеграл. Мы поступим немного иначе для того, чтобы привязать наше рассмотрение к разложению Тейлора. И посчитаем вместо этого сразу n-ю производную рассматриваемой функции в точке z = 0. Непосредственно из этой формулы следует, что это есть просто n! * интеграл по окружности от функции f (z) / z в степени (n + 1) * dz. И теперь осталось явно вычислить этот интеграл. Удобно сделать это, перейдя к интегрированию по угловой переменной, то есть написав z = e в степени iθ, после чего интеграл принимает следующий вид. Интегрирование по контуру превращается в интегрирование по углу от 0 до 2π. Смена переменной интегрирования дает меру i * e в степени iθ. В знаменателе возникает фактор e в степени iθ * (n + 1), и осталось... Я не буду здесь переписывать это выражение, но давайте назовем его просто f (θ). Это значение функции f, заданное на контуре как функция угла от θ. Здесь f (θ) значение функции на контуре C как функция аргумента переменной z. Теперь давайте посмотрим на этот интеграл и перепишем его немного иначе. Начнем, немного упростим его, в следующем смысле. [БЕЗ_ЗВУКА] Так, пожалуй. И для того чтобы... В принципе, этот интеграл уже явно вычисляется, но для того чтобы упростить его вычисление, мы сделаем довольно элементарные преобразования, а именно, перейдем обратно к переменной интегрирования z, для этого скажем, что e в степени iθ = z, тогда этот интеграл принимает вид. [БЕЗ_ЗВУКА] [БЕЗ_ЗВУКА] [БЕЗ_ЗВУКА] И оказывается, удобно теперь эту функцию f (θ) выразить опять через z, и она принимает следующий вид. Для начала воспользуемся тригонометрическим тождеством для того, чтобы переписать эту дробь следующим образом. [БЕЗ_ЗВУКА] [БЕЗ_ЗВУКА] Проверим, что все в порядке. Да, действительно, раскрывая скобки, мы получаем то выражение, с которого мы начинали. Теперь видно, что можно провести сокращение одного из факторов. И вспомнить, что это есть введенная нами переменная z. Таким образом, мы приходим к интегрированию по контуру dz / z в степени (n + 1), от функции 1 / (a − z). Это есть, конечно, не что иное, по тем же соображениям, как n-я производная функции 1 / (a − z). n раз дифференцируемой по z. 1 / (a − z), и взятой при z = 0. Таким образом, мы показали, что n-я производная нашей функции, вычисленная по теореме Коши, просто совпадает с n-й производной функции 1 / (a − z). Конечно, это означает, что соответствующий ряд Тейлора можно просуммировать и показать таким образом, что f (z) есть не что иное, как 1 / (a − z). Этот пример может выглядеть несколько искусственным из-за двухкратного преобразования переменной интегрирования сначала в одну сторону, потом в другую. Но концептуально он демонстрирует, как вычислить функцию f (z), зная ее значения на границе. В данном случае нам удалось вычислить все производные и свести их к производной функции 1 / (a − z). Таким образом, так как функция на границе круга и в самом круге аналитична, это доказывает, что функция, представляемая этим выражением на границе, а внутри круга определяется формулой f (z) = 1 / (a − z). [МУЗЫКА]
