[МУЗЫКА] Теперь рассмотрим несколько примеров особых точек разных типов. Начнём с самого простого примера и рассмотрим функцию, задаваемую следующим выражением... По виду этой функции ясно, что потенциально единственной особой точкой может быть точка, в которой знаменатель обращается в ноль, и эта точка могла бы быть, например, полюсом. Однако при более внимательном рассмотрении видно, что предел функции f(z) при z → 0, существует; его можно вычислить как предел выражения... [БЕЗ_ЗВУКА] Раскрыв это выражение по правилу Лопиталя, можно записать следующее... Предел существует и равен единице. Таким образом, у этой функции f(z), которая, очевидно, аналитична во всех точках, кроме z = 0, при z = 0 существует устранимая особенность. Для того, чтобы эту особенность устранить, достаточно доопределить функцию f(z) при z, равном нулю и единице. Таким образом, это пример устранимой особенности. Рассмотрим пример особой точки следующего типа... а в качестве примера возьмём функцию, задаваемую следующим рациональным выражением... Аналогично потенциальными особыми точками могут быть нули в знаменателе, единица и двойка, и в данном случае природа особенности очевидна. В частности, например, рассмотрим z0 = 1. Из неё видно, что при разложении в ряд Лорана при z вокруг z = z0 получится, первый член этого ряда Лорана будет иметь вид 1/(z – z0), где z0 = 1, умножить на –1. И можно показать, что остаток, который возникает из этого разложения, будет аналитической функцией вблизи z = 1. Таким образом, в данном примере z, равное z0 и равное 1, является полюсом первого порядка с вычетом, равным (–1). Перейдём дальше: рассмотрим изолированную особую точку, в которой присутствуют все отрицательные степени ряда Лорана, и наиболее простой пример — это функция типа z * e^1/z. Опять потенциально особой точкой являются нули в знаменателе рациональных выражений, то есть z = 0, очевидно, является сингулярной точкой. Для того, чтобы выяснить характер этой сингулярной точки, давайте построим ряд Лорана вблизи z = 0. Так как эта особая точка изолированная, такое разложение существует. Для того, чтобы его написать, в данном случае достаточно просто разложить экспоненту в ряд Тейлора. [БЕЗ_ЗВУКА] [БЕЗ_ЗВУКА] Перемножая... домножая этот сходящийся ряд на z, получаем просто разложение вида... [БЕЗ_ЗВУКА] Таким образом, эта изолированная особая точка является существенной сингулярностью. Предел при z → 0 функции f(z) не существует, и соответствующий ряд Лорана содержит произвольный в отрицательной степени z. Давайте так: в данном примере построение ряда Лорана вблизи существенной особенности является тривиальным упражнением, рассмотрим более сложный пример — рассмотрим функцию f(z), задаваемую выражением вида... [БЕЗ_ЗВУКА] Да, теперь... это z – 1/z. Теперь формальное разложение в ряд Тейлора потребовало бы раскрытия скобок в произвольных n-тых степенях этого биномиального выражения, поэтому мы пойдём воспользуемся другим способом, а именно — свяжем коэффициенты ряда Лорана такого выражения. Давайте, во-первых, запишем этот ряд... Это суммы по всем степеням an-тое на z^n, и здесь опять для удобства мы ввели суммирование по численному индексу n от –∞ до +∞, и наша задача сейчас состоит в том, чтобы найти, построить явные выражения для коэффициентов an-тое. Давайте воспользуемся представлением для этих коэффициентов, которые мы получили в формулировке теоремы Лорана. А именно, напишем, рассмотрим для определённости, например, коэффициенты перед положительными степенями z. То есть рассмотрим для начала n ≥ 0, тогда соответствующие коэффициенты можно записать в виде контурных интегралов по контуру, окружающему особую точку (в данном случае z = 0), интеграл от функции f(z)/ (z – a) ^(n + 1) по dz. Давайте вычислим этот интеграл. Его опять удобно... Вычисление в данном случае a = 0; в данном случае это вычисление удобно провести заменой z = e^iφ. Иначе говоря, будем проводить это интегрирование по окружности единичного радиуса. Тогда подынтегральное выражение преобразуется следующим образом: во-первых, как обычно, интегрирование по такому контуру превращает интеграл в интеграл по φ от 0 до 2π. Так... Следующее, что нам следует выписать — это саму функцию f. [БЕЗ_ЗВУКА] Так... И осталось выписать знаменатель. Это z^(n + 1), то есть e^iθ * (n+1). Давайте проделаем ряд упрощений, после которых интеграл принимает вид: это e^–inφ и то, что остаётся здесь — это есть не что иное как 2i * sin φ; таким образом, здесь возникает xi * sin φ, то есть интегрирование берётся по dφ. Этот интеграл уже относительно прост, но его можно ещё чуть-чуть упростить, заметив, что, очевидно, коэффициенты в ряде Лорана должны быть действительными числами в данном случае — из этого следует, что, несмотря на комплексный вид этого интеграла, ненулевым выражением для него должна остаться только действительная часть. Это следует, конечно, из свойств нечётности подынтегрального выражения по φ и, таким образом, выделяя ненулевую действительную часть, мы получаем, что этот интеграл равен 1/2π интеграл от 0 до 2π cos [nφ + x * sin φ]... Можно показать (это будет одним из ваших домашних упражнений), как вычисляются коэффициенты an-тые с отрицательными n. Они оказываются довольно просто связанными с коэффициентами при положительных n что, в общем-то, следует непосредственно из свойств функции f(z) по отношению к замене z на 1/z. Ну, таким образом, мы получили выражение для коэффициентов ряда Лорана, и в данном случае вычисление этого интеграла в явном виде затруднительно, но для этой функции, рассматриваемой как функция x c индексом n существует специальное название — это функция Бесселя, и некоторые из их свойств мы рассмотрим в более поздних лекциях. [МУЗЫКА]
