Перед тем как перейти к рассмотрению и применению теоремы Лорана к построению разложений, полезно еще обсудить природу особенностей аналитических функций. В частности давайте введем несколько важных понятий. Первые понятие - это точка "z", точка "z0" в комплексной плоскости называется сингулярной точкой или особой точкой функции "f(z)", если в этой точке "z0" функция не является аналитической, однако, любая окрестность этой точки содержит хотя бы одну точку аналитичности функции "f(z)". В этом случае точка "z0" называется особой точкой функции "f(z)". Дальнейшая классификация особых точек проходит по следующему принципу, такие точки делятся на изолированные особые точки и неизолированные. Изолированной особой точкой называется, такая точка "z0" для которой существует проколотая окрестность, то есть такая окрестность комплексной плоскости задаваемая неравенством, в которой функция является аналитической. То есть такое неравенство означает по сути, что в какой-то может быть и малой окрестности точки "z0" нет других сингулярностей функций "f(z)". Значит такая особая точка называется изолированной, а дальнейшая изолированная сингулярность. Дальнейшая классификация уже изолированных сингулярностей происходит следующим образом. Мы выяснили, что в точке "z0" функция не является аналитической, однако, судьба предела функции "f(z)" при "z" стремящимся к 0, а "z" стремящимся к "z0" может быть разной, а именно возможны 3 различных сценария. 1 сценарий, когда этот предел не существует, это естественно худший сценарий и это такая изолированная особая точка называется "Существенной особенностью". Противоположностью этого является ситуация гораздо более простая, а именно, когда существует конечный предел функции "f(z)" с точки "z" стремящаяся "z0", и тогда такая сингулярность называется устранимой, это устранимая особенность, и некий промежуточный случай между этими двумя, это когда предел существует, но равен бесконечности. Иначе говоря предел функций "1f(z)" равен 0, и в этом случае точка "z=z0" называется полюсом. Оказывается, что разложение в ряды Лорана вблизи изолированных сингулярностей позволяет классифицировать сингулярности по этим трем достаточно легко. А именно, так как сингулярность изолированы, это означает, что можно написать ряд Лорана вблизи точки "z0" по степеням положительным и отрицательным, отклонение от этой точки. Здесь я использовал сокращенное обозначение. То есть, если до этого мы разделяли положительные и отрицательной степени, естественно, иногда удобно их определять, объединять вместе, сумма здесь идет по положительным и отрицательным целым числом. То есть, вот такой способ обобщить запись ряда Лорана, и оказывается, что достаточно легко проверить, вы можете в этом убедиться, что классификация по 3 типам изолированных сингулярностей очень естественным образом выражается в свойствах коэффициентов "аn". А именно, в худшем случае для всех отрицательных "n". "an" не равно 0. Точнее говоря, множество коэффициентов "аn" с отрицательными "n", которые не равны 0, имеет носитель при сколь угодно больших по модулю отрицательных "n". И в этом случае предел "f(z)" стремящимся к "z0" не существует и точка оказывается существенной особой. Второй случай, когда предел существует, это устранимая особенность. Это означает, что для всех "n" меньше 0, а это равно 0, иначе говоря в этом разложение просто отсутствуют члены с отрицательными "n". И в этом случае, конечно, предел "f(z)" стремящимся к "z0" существует, хорошо определен, более того он просто равен "а0", и эта особенность является устранимой. И последний случай это когда, предел при "z" стремящимся "z0" существует и равен бесконечности, в этом случае это означает, что все "an" при "n" меньших какого-то "n0" отрицательно равны 0. Иначе говоря, это разложение с левой стороны, с стороны отрицательных "n" конечно начинается с определенного "n" отрицательного. И в этом случае, такая точка называется - полюсом порядка "n0". Давайте, чтобы придать этому более конкретный смысл осмотрим пример. Например, для полюса порядка "n". Что это означает? - это означает, что функция "f(z)" может быть представлена в следующем виде "b-n" делить на "z-z0" в степени минус "n". То есть, первый член ряда начинается с какого-то вполне определенного отрицательного "n" вплоть до возможно "b-1", отвечающего разложение по "z-z0", и далее некая регулярная вблизи "z0" функции "f от z". В этом случае, это по нашей классификации отвечает полюсу порядка "n" и будет являться изолированной сингулярной точкой, типа полюс. Вот оказывается, что коэффициент "b-1", в таком разложение играет особую роль, он называется вычетом и изложение того почему такие особые точки являются специальными с точки зрения вычисления, например, определенных интегралов, мы и перейдем.
