Los cursos de Cálculo Diferencial y Cálculo Integral tradicionalmente se ofrecen separados y respetando ese orden. El primero estudia la derivada, y el segundo, la integral, siendo este momento en el que aparece el Teorema Fundamental del Cálculo (TFC) para establecer la relación entre ambos conceptos. En el presente curso vamos a hacer una diferencia: introduciremos la derivada y la integral como conceptos relacionados desde un principio. Vamos a iniciar con la interpretación del Teorema Fundamental del Cálculo, con esto nos referimos a descubrir su significado real en la solución de problemas. Llegaremos a asociar con él la actividad práctica de calcular el valor de una magnitud que está cambiando. Habiendo realizado esta interpretación, los conceptos de derivada e integral se verán relacionados desde un principio, lo que te permitirá predecir el valor de una magnitud que está cambiando. Las nociones fundamentales de derivada e integral las identificaremos con las ideas de “razón de cambio” y de “acumulación del cambio”, y el TFC nos proveerá de la estrategia de solución. Recordarás que la Matemática Elemental incluye el Álgebra, la Geometría y la Geometría Analítica. Podemos decir que éstas son Matemáticas que estudian lo estático. En cambio, la Matemática Superior, que incluye el Cálculo, estudia lo dinámico. Con el Cálculo se inicia el estudio del cambio, una realidad presente en nuestro entorno cotidiano sin duda alguna. Costos, temperaturas, poblaciones, velocidades, energías, capitales de inversión, longitudes, etc., son algunos ejemplos de esto. En este curso podrás entender al Cálculo como una estrategia de solución para el estudio del cambio y diferenciarlo de las Matemáticas Elementales, aunque utilice de ellas bastante información. Al finalizar este curso podrás: Describir de qué manera los modelos matemáticos polinomial, exponencial natural, y trigonométricos (seno y coseno), son una construcción que responde a esta práctica de predicción. Los verás a todos ellos surgir de esta práctica cuando una magnitud real particular cumple ciertas condiciones en su “razón de cambio” con respecto a la magnitud de la que depende. Utilizar la introducción de procesos infinitos (¡no imposibles!) en la construcción de la respuesta de predicción, con ello entenderás por qué se habla de Matemática Superior y de un pensamiento matemático avanzado. Valorar una forma de pensar diferente, donde nuestro razonamiento matemático trascienda la sola manipulación de fórmulas algebraicas.
Situación: El crecimiento exponencial del cultivo de bacterias...
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5.- Cálculo Diferencial e Integral unidos por el Teorema Fundamental del Cálculo
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Modelo Exponencial
La estrategia numérica del Método de Euler será aplicada para construir el Modelo Exponencial. Para esto, asociaremos la problemática de predicción con situaciones reales cuya particularidad se establece en términos de la relación entre la magnitud y su razón de cambio, lo que matemáticamente se conoce como una ecuación diferencial.
與講師見面
Dra. Patricia Salinas MartínezProfesora Titular
Campus Monterrey
Pues como lo hemos hecho en cada una de
nuestras módulos, hay una situación real sobre la que
vamos a estar hablando y viendo como ahí la matemática está presente.
Yo los invito a ver estas imágenes que van a ser muy sugerentes, ¿no?,
de lo que vamos a estar estudiando.
Podemos ver esas imágenes ahorita, ¿no?,
como da la sensación de una reproducción, ¿no?, no se si ya lo hayan identificado.
Se trata de una reproducción de bacterias, ¿no?
Son imágenes reales en las que con un
microscopio especial se puede estar viendo ese movimiento,
¿no?, de producción, de aumento en la cantidad de bacterias.
Ahí está tenemos un ejemplar de microscopio ejemplar para este tipo de
estudios, y bueno pues ese es el tema, el crecimiento
de bacterias es la situación real sobre la que vamos ahora
a profundizar para ver como damos lugar ahí a un nuevo modelo matemático.
Y entonces bueno pues si me acompañan, o sea no vamos a lograrlo si nos quedamos
viendo nada más las imágenes, entonces pues al papel.
Y en este papel bueno, yo tengo una imagen de un cultivo en
particular y tengo aquí las condiciones, ¿no?, las condiciones matemáticas
que se hacen o se considera o considera el hombre para modelar esta situación.
Vean ahorita ustedes que estoy utilizando la letra m de t,
vamos a pensar que la m es la masa, sí, que la letra t representa tiempo,
pensemos que hablamos de días, sí, m de cero igual a sub
cero quiere decir la masa a los cero días o sea cuando comienzo
a contar el tiempo la vamos a bautizar con el número m sub cero.
Y aquí hay una expresión, fíjense esta expresión si se las leo dice, la
derivada de la masa con respecto al tiempo es igual a k veces la masa en ese tiempo,
o sea aquí en esta expresión, esto es lo que se llama una ecuación diferencial.
Las ecuaciones diferenciales lo que están hablando es de la relación que tiene una
magnitud con su razón de cambio, con su derivada.
Entonces ahorita estamos diciendo que la razón de cambio
de la masa es proporcional, se acuerdan,
proporcional, esa letra k dice es proporcional a la masa misma.
Esto es algo digamos que intuitivamente puede ser entendible,
o sea como que la rapidez con la que una masa se reproduce,
esa rapidez depende de cuánta masa hay,
y mientras más masa hay entonces la rapidez todavía es mayor.
O sea este son el tipo de fenómenos que la gente cotidiamente
dice crecimiento exponencial, ¿no?
O sea se va a la exponencial, esta idea de que las cosas cercen mucho,
mucho, mucho, ¿no?
Está digamos muy ligada al crecimiento de este tipo de cultivos, ¿no?, de masas.
Total ahorita que les estaba diciendo crecen mucho, mucho,
mucho yo pensaba por qué no considerar que la masa m de t fuese,
déjenme ponerlo con otro color porque luego no iii,
que fuese m de t igual a t a la 100,
este es una función polinomial y crece mucho, mucho, mucho.
O sea es algo que en uno vale uno pero en dos a la 100 es mucho,
tres a la 100 es mucho más, ¿no?
Por qué un modelo polinomial como este no satisface el tipo de estudio,
¿no?, que se hace o lo que ocurre en la naturaleza con estos fenómenos, ¿no?
La razón espero que ustedes ya la puedan ver,
esto es parte de nuestra cultura matemática que estamos adquiriendo,
es que necesitaríamos nosotros que nuestro modelo matemático satisfaga
que su derivada es proporcional a la misma función o al mismo modelo, ¿no?
Entonces si ustedes piensan ahorita en derivar t a la 100,
estarían pensando que la derivada es qué,
100 t a la 99, cierto.
Y ya con esto su derivada no es una función polinomial de grado 100, o
sea no puedo hablar de la proporcionalidad entre la derivada y la función original,
entonces por eso aquí nosotros diríamos ya con esto está demostrado, ¿no?,
matemáticamente que la situación que se modela con esta ecuación diferencial
no va a ser posible de ser modelada con una función polinomial, okey.
Entonces tenemos cabida a hacer un análisis matemático que nos permita
decir cuál entonces es el modelo que satisface esta situación real.
Vamos a hacer algunas consideraciones, ¿no?,
para poder avanzar en este análisis, sí.
Me gustaría que primero, o sea hagamos un poco más simples las cosas y consideremos
que esta k fuese un uno, o sea estoy simplificando la expresión
y entonces nuestra ecuación diferencial diría m prima de t es igual a m de t.
O sea vamos a pensar en un modelo matemático cuya derivada coincide con el
mismo, okey.
Para considerar que es la estrategia, ¿no?,
cuál es la estrategia que hemos utilizado en este curso me gustaría
plantear una pregunta de predicción, entonces digamos que ahorita nuestro
objetivo es saber cuál va a ser la masa a los cinco días,
sí, nuestra pregunta está aquí, ¿cuál es la masa a los cinco días?
Okey. Para saber cuál es la masa a los cinco
días nosotros hemos estado utilizando un método de aproximación numérica,
cierto, y en ese método pues, qué es lo que hemos hecho.
Pensaríamos nosotros en que tenemos aquí nuestros cinco días,
digamos cero, a la mejor no le voy a atinar muy bien, dos, tres,
más o menos ahí, cuatro y el cinco, ¿no?
Entonces tenemos estos cinco días y en estos cinco días,
yo se que la razón de cambio de la masa no es constante, pero la voy a suponer.
Entonces lo que vamos a hacer es una aproximación del valor de la masa
a los cinco días, ¿no?
¿Cómo hacemos esa aproximación a los cinco días?
Nuestro método nos ha llevado a plantearles lo siguiente,
miren vamos a verlo aquí, si lo tengo aquí para no perderlo de vista.
Tengo el valor inicial, entonces aquí qué masa hay,
pues la que me dice aquí la filmina, es m sub cero.
Aquí tenemos m sub cero gramos, sí, la masa de este cultivo,
ahora voy a ver cuánto hay acá después de que pasó un día,
¿qué es lo que voy a hacer para calcular la masa en el un día?
Que para eso había puesto esta parte de acá porque vamos a tener que escribir.
La masa en un día podríamos pensar de la manera
más simple posible que es igual a la masa que tenía originalmente
más el cambio que tuvo esa masa en el intervalo de duración un día,
en el intervalo de cero a uno, ¿de acuerdo?
Y en este momento es en el que tendríamos que poner nuestra pseudo igualdad,
porque vamos a aproximar este cambio, ¿no?, este cambio tiene que ver
con la derivada de la masa pero esto es algo que está cambiando constantemente que
ahorita lo vamos a considerar como si se mantuviera constante en este lugar,
o sea el valor de la derivada durante este intervalo lo consideramos constante,
y entonces aquí nos quedaría la masa en cero más la derivada de la masa,
¿no?, en cero por el intervalo de tiempo,
que en este caso el intervalo de tiempo es un uno, ¿no?
O sea aquí estaría nuestro delta t que es un uno, okey.
Podría dejar aquí el delta t o ponerles un uno, igual ahorita lo que quisiera
es que recordáramos esta estrategia entonces me voy a permitir dejarlo igual
pero recuerden que en este caso el delta t es un uno, okey.
Una vez que ya hicimos este cálculo de la masa en uno, tenemos un nuevo valor aquí,
se fijan, y entones va a pasar otro día y entonces tendremos aquí un nuevo
delta t y nuestra idea sería calcular la masa en dos, sí.
Y entonces para calcular la masa en dos, la idea básica es la misma, ¿no?
Ya tengo cuanto vale la masa en uno porque lo calculé acá y a ese le
voy a sumar el cambio que sufre la masa en el intervalo del uno al dos, cierto.
De hecho aquí siendo propios tendríamos que poner aquí un aprox ya,
porque esta masa en uno se aproximó,
okey, entonces este valor ya va a dar una aproximación de este otro.
Seguimos así y entonces aquí vendría otra nueva aproximación
y tendríamos la masa en uno más la derivada de la masa en uno por el delta t,
donde este delta t va a ser un uno, sí.
Ahorita lo que hicimos fue capturar un valor de la masa en dos
y luego qué vamos a hacer, pues vamos a capturar un valor de la masa en tres, ¿no?
¿Cuánto vale la masa en tres?
Pues ya esto estaría aproximado porque este ya va a estar aproximado, ¿no?,
pero aquí está nuestra idea fundamental yo tengo un valor inicial,
que es el que ya calcule aquí previamente y a ese le voy a sumar el
cambio de la masa en el intervalo del dos al tres, ¿cierto?
Y este valor lo voy a aproximar con la masa en dos más la derivada de la masa
en dos por el delta t, cierto, y ya con eso tendría el valor de la masa en tres.
Y así nos iríamos, ¿no?, hasta llegar a la masa en cinco, cierto.
Esto que estoy escribiendo aquí con esta simbología es recordarles esa estrategia
que se llama método de Euler y que nos llevaría digamos a aproximar
el valor de la masa a los cinco días, pero bueno en lugar de acabar esta lista,
a mi me gustaría que ya con este recordatorio nos fueramos, ¿no?,
a la tecnología, nos fueramos a una hoja de cálculo y trataramos de hacer
las cosas ahora de una manera numérica metiendo ya valores, okey.
Entonces si nos pasamos ahorita a excel recuerden que nuestra
pregunta es calcular el valor de la masa en cinco, okey,
y bueno pues puedo dividir el tiempo, el intervalo de cero desde
cero hasta cinco en cinco intervalos o puedo dividirlo en más, ¿no?
Vamos a aprovechar ahorita que tenemos excel y entonces pongamos el valor del
delta t igual a 0.5, ¿qué es lo que estoy diciendo con esto?
Les estoy proponiendo que cada mitad de día hagamos el cálculo, ¿no?,
de la masa a la mitad del día y luego al completar el día y luego a la otra mitad
del día y etcétera, etcétera, ¿no?.
Entonces el primer valor para el tiempo aquí tendríamos que poner un qué,
pues un cero, okey.
En la siguiente columna les he propuesto aqui lo que viene siendo la
ecuación diferencial, okey.
Aquí vamos a tomar en cuenta que van a aparecer los valores de la masa,
¿no?, pero al mismo tiempo sabemos que estos valores numéricos coinciden con
su razón de cambio ahorita que estamos proponiendo que la constante k de
proporcionalidad sea igual a uno.
Entonces en este lugar tendríamos que poner una masa inicial,
digamos para simplificar que teníamos un gramo, si,
teníamos un gramo de masa cuando empieza a contar el tiempo,
y entonces a partir de ese gramo vamos a ver como se va a ir acumulando el
cambio en la masa para sumárselo y generar nuestros valores numéricos,
¿no?, consecutivos.
Entonces aquí en la siguiente de las celdas les estoy poniendo la expresión,
el cambio de la masa que es algo que tendríamos que sumar al valor inicial,
se acuerdan como lo tenemos en la hoja, entonces en este lugar la operación
que tendríamos que decirle a excel es qué sería, decirle calcula, le puse un igual,
sí, y luego le dije tengo que multiplicar la derivada de la masa por el delta t.
La derivada de la masa la tengo aquí atrás, cierto entonces le voy
a decir toma este valor porque ese valor lo vas a tener que multiplicar,
aquí tenemos nuestra multiplicación, por el intervalo de
tiempo que pasó que es este que tenemos aquí, claro que tenemos que tener la
precaución como lo hemos hecho antes de aquí poner un signo de pesos para que no
se nos altere cuando tomemos los valores, ¿no?, al copiar la fórmula, ¿no?
Entonces ya con eso ya tenemos un valor 0.5 que sería medio gramo se acumuló
de esa masa durante la primera mitad de día, ¿no?, desde que empezamos a contar.
¿Cómo le generaríamos acá el siguiente tiempo?
Aquí tendríamos que tener medio día, un día, uno y medio días, etcétera,
eso lo hemos hecho al decirle a excel igual le decimos toma el
valor anterior y le vas a sumar, ¿cierto?
lo que tenemos en el intervalo de tiempo, en este caso 0.5.
Otra vez con la precaución de qué,
de que antes, ay ya lo cambié perdón, que antes de este
D tendríamos que poner el signo de pesos para que no se altere la operación.
Bien, aunque apareció el 0.5, tengo A2 más signo de pesos dos, okey, en la expresión.
Y con esto ya se van a estar generando los valores, si yo le doy para abajo,
ahí está el uno, el dos, tres, cuatro, vámonos hasta el cinco, ¿sí?
Ya tenemos ahí generados nuestros mitades de días, okey, y ahorita en la columna
de la masa qué es lo que tendríamos, ya tengo un valor inicial de la masa,
en este lugar que sigue en la columna lo que voy a decirle a excel es toma
ese valor inicial y le vas a sumar ¿qué le vas a sumar?
El cambio de la masa en el intervalo de tiempo y ese cambio lo tenemos
en la columna c, entonces agarramos este valor que está aquí,
cierto, y le decimos calcula eso y salió el 1.5.
Okey.
Este es nuevo valor de la masa pero al mismo tiempo es un valor de la
derivada de la masa y entonces este valor nos va a servir en esta columna,
en esta columna lo que tendríamos que hacer es calcular el producto de este
número por este de acá, cierto, de la derivada de la masa por el delta t,
pero esa es justa la fórmula que tenemos aquí arriba.
O sea si yo ahorita copiara la fórmula nada más,
entonces ya tendríamos el nuevo valor, ¿cierto?
¿Qué va a seguir luego?
Si nos vamos así como estábamos siguiendo en la hoja, aquí en el primer
día tendríamos un nuevo valor de la masa que se calcula cómo,
al valor anterior que está justo arriba, ¿no?, le sumo qué,
el cambio que sufrió, ¿no?, en ese intervalo de medio día.
O sea la fórmula que tendríamos que poner en esta celda que les estoy señalando
sería la mismita fórmula que tengo acá o sea decirle toma el valor
anterior y súmale el cambio, ¿no?, y eso entonces lo vamos
a hacer si simplemente aquí arrastramos esta fórmula y lo tenemos completo.
Y para acá también osea, otra vez, o sea la fórmula es la misma,
ahí tendríamos digamos nuestro panorama cuando ha pasado un día y
podríamos acabar con todo esto si solamente copiamos la fórmula,
se acuerdan, la arrastramos en la hoja de cálculo para que
tengamos los datos hasta el tiempo cinco, ¿no?
Y en este momento entonces podríamos decir que en los cinco días
podríamos pensar en 57.66503906 gramos,
¿no?, de la masa de ese cultivo de bacterias, ¿no?
Este cálculo es un cálculo aproximado por qué,
porque estamos considerando nosotros que la derivada
de la masa se consideró constante durante ese intervalo de tiempo, ¿no?
Si ustedes pensaran ahorita en este número, ¿no?,
vamos a ponerlo en colorcito, en este número y pensaran en el valor
de l amasa en cinco, el real, el exacto, ¿no?
Esta es una aproximación, el amarillo es una aproximación.
En cambio tendríamos el exacto, ¿no?,
cómo sería el valor exacto comparado con este amarillo, ¿no?,
cómo sería comparado con ese valor amarillo, sería un valor más grande que el
amarillo o más chico que el amarillo, no hay más que de dos, ¿no?,
o el valor real de la masa es más grande que ese valor amarillo o es más chico.
¿Cierto?
Si ustedes piensan en la situación ahorita y me permiten
volver al papel, sí, para recordarlo acá,
estamos haciendo en este curso la idea de esta división del tiempo,
cierto, y cada vez que hacemos un cálculo de un nuevo valor,
estamos considerando, aquí por ejemplo, ¿no?,
el valor de la masa en el tiempo anterior y le estamos sumando
la derivada pero en ese tiempo, ese valor de la derivada que se
va a considerar constante en todo este intervalo, ¿de acuerdo?
La derivada de la masa necesariamente tiene que ser una función que está
creciendo, cierto, más masa más rápido se reproduce, ¿no?
Entonces cuando estamos adoptando el
valor inicial del intervalo aquí para considerarlo
durante todo el intervalo, estoy considerando un valor menor de
la derivada que el que pueda tener en todo el intervalo.
Entonces mi cálculo tiene que ser menor, ¿no?, que el valor real de la magnitud.
¿Cierto?
Eso entonces me hace asegurar que el número que teníamos en amarillo,
este número que está en la hoja de excel tiene que ser
un número más chico que el valor real de la magnitud.
No se si me expliqué, vamos a excel para que lo veamos y lo volvemos a recordar,
este número que está aquí es menor que la masa en cinco.
Estamos haciendo una aproximación de la masa a los cinco días y
este número que obtuvimos es menor, okey.
Es menor, es una aproximación pero no importa, eso es matemáticas también.
Podríamos hacer mejoras gracias a este tipo de tecnologías,
¿qué es lo que habría que hacer?
Podríamos decirle en la hoja, en la pestaña abajo me puse,
hice un botón derecho digo move or
copy y le digo que me cree una copia que me la ponga al final,
no, vamos a ponerla antes de este, antes de este, okey.
Ahí lo tenemos, ahí está mi copia, sí,
y lo que quiero ahora con ustedes es ilustrar lo que ya hemos hecho antes,
o sea nada nos impide con esta tecnología decir oye vamos a tomar décimos de día,
vamos a ponerle aquí un 0.1 cuando doy un enter vean que todo cambió,
sí, y el valor amarillo que yo tenía ya no es la masa en
cinco días sino en un día, ¿cierto?
Lo que tendríamos que hacer nosotros es tomar esta expresión y bajarla lo
suficiente para llegar a los cinco días, ¿no?, se me fue también el color amarillo,
vamos a dejarlo así, se fue el color amarillo para la masa,
ya llegamos, ya casi, aquí está 117.3908529 gramos,
obviamente es una aproximación mucho mejor, ¿cierto?
Es una aproximación en donde se está calculando, ¿no?,
lo que pasa con la masa pero en cada décimo de día,
cada décimo son buenos cálculos y como estamos ya entrados aquí en este asunto,
pues por qué no, al cabo las operaciones las hace excel y entonces les
podría decir que hiciéramos un cálculo con 0.001, sí,
pero antes de hacerlo déjenme, estaba recordando algo que quería mostrarles para
que lo puedan ustedes utilizar, vamos a hacerlo con esta hoja aquí.
Tengo una imagen ahorita de columnas, se fijan,
tengo la t y tengo la masa, y esa es la función matemática que estoy
construyendo con estas dos, entonces hay una posibilidad también que nos ofrecen
las hojas de cálculo en la que podríamos tomar estos valores numéricos,
todos los que tenemos aquí y entonces decirle que inserte,
me fui al menú de insert y aquí en las gráficas en
charts escojo van a ver, escojo esta, esta que está aquí,
lo que está haciendo es que está juntando los puntos
de los obtenidos con los datos con segmentos de recta,
aquí casi casi no se aprecia que son segmentos de recta, se fijan,
pues son datos que nuestra vista nos hace verlos como algo continuo,
pero qué tal si hago esto acá, al cabo que está pequeñito ahorita,
voy a juntar estos datos y estos datos, sí,
le voy a decir insértame una chart como este.
Aquí ya es más claro como está haciendo, se fijan,
segmentos de recta en el gráfico, ¿qué es lo que está pasando?
Que nuestro gráfico ahorita está siendo una aproximación digamos,
de la curva la real, matemáticamente pero a través de segmentos de recta.
¿Por qué?
Porque en cada uno de los intervalos de cero a 0.5, de 0.5 a uno,
de uno a 1.5, estoy considerando que la razón de cambio se mantiene constante.
Esto es muy interesante, ¿no?, fíjense en esta gráfica, fíjense en la que hicimos
acá, aquí está mejorada esta gráfica sin embargo sabemos que son segmentos
de recta los que se están juntando aquí, es como una poligonal, cierto.
Y claro, si hacemos una mejora como les proponía con el 0.001,
pues vean ya la traigo aquí preparada, en el punto 0.001,
y si me voy hasta abajo, voy a tener un cálculo de la masa,
apenas vamos en el uno, y duro y dale no se mareen ustedes,
verdad, pero vamos a llegar hasta, uf, fíjense cuantos llevamos,
cuantos renglones de excel hemos estado atravesando para que en cada,
qué, centésimo de día nos haga un cálculo, ¿no?
y nos lleve a decir que la aproximación de la masa a los cinco días va
a ser justamente bueno, aproximadamente de 148.0426362 gramos, okey.
Siguen creciendo, ¿se fijan cómo nuestras aproximaciones están creciendo?
Porque como lo habíamos ya discernido antes,
el valor real de la masa es mayor que el de los otros, okey.
Entonces ahorita ya me puedo regresar y ver aquí el gráfico con ustedes,
vean este gráfico, ya se ve prácticamente, ¿no?, bien suavecito, ¿no?,
continuo y en ese gráfico pues estamos observando lo que esperábamos tiene que
ser una curva creciente y cóncava hacia arriba porque ya hemos aprendido nosotros,
verdad, que eso está manifestando un crecimiento cada vez más rápido,
nuestra gráfica tenía que ser así, ¿no?
Ya excel nos permitió tener una imagen de la gráfica que
la calculó o que la hizo a través de los valores numéricos que generamos con el
método de Euler en excel y con esto bueno pues tenemos una idea
de lo que debe de ser el gráfico, pero y qué pasa con la expresión algebraica,
cuál va a ser la función, cuál va a ser el modelo matemático.
Eso por más que lo veamos ahorita como está eso no es un x a la 100, verdad,
ni x a la 1000, es otra cosa, ¿no?, entonces vámonos otra vez
al papel porque necesitamos en el papel pues meter el razonamiento matemático,
¿no?, el razonamiento matemático que nos va a permitir llegar a la expresión,
a la expresión matemática.
Traigo aquí yo preparado en el papel un una filmina, que tiene su color,
vamos a tratar de ajustarla para que tengan ustedes toda la visión y entonces
en esta filmina vamos a tratar de evocar el proceso de excel, se imaginan,
yo no voy a escribir aquí numeritos, o sea no voy a escribir lo que hace excel
pero sí puedo escribir una expresión simbólica de lo que hace excel,
a eso es a lo que los invito, y entonces vamos a traernos aquí este
cero y este t como antes teníamos
nuestra cero y nuestro cinco, se fijan, primera generalización,
ya los invito a que no se preocupen de que sean cinco días, seis días, no,
vamos a hablar en el tiempo general t, una primera generalización,
una primera simbolización de no pensar en números sino en letras, okey.
Cuando era el cinco partíamos en un día, medio día,
un décimo de día, un centésimo de día, sí,
ahorita lo que vamos a decir es en cuántos intervalos vamos a partir aquí,
vamos a pensar perdón, en general en n, n intervalos.
Se acuerdan como nos gusta la n en matemáticas.
N intervalos, o sea sería como pensar fíjense,
cuando eran los cinco días y yo digo cinco intervalos entonces divido
cinco entre cinco y me queda uno, estaría pensando en intervalos de un día.
Si pienso en 10 intervalos estaría
haciendo un cinco entre 10 para pensar en mitades de días, okey.
Si pienso en 100 intervalos estaría haciendo
un cinco entre 100 para hablar entonces de los centésimos de un día o 500,
tendría que haber sido ahí un 500 para que fueran un centésimo de día, sí.
O sea lo que quiero generar con ustedes es este razonamiento de hacer una división.
Tengo un intervalo de longitud t y lo voy a dividir en n sub intervalos,
entonces cada uno de los sub intervalos que voy a poner aquí tendrían
que tener un espesor de t sobre n, cierto.
Este es el valor que tengo aquí ya impreso,
t sobre n, o sea este t sobre n está siendo las veces de este delta t.
¿De acuerdo?
Y con el voy a poder dividir el intervalo de tiempo que mide t ahora,
en el número n que yo quiera de sub intervalos posibles,
algo que excel no puede hacer, no puede representarlo como n, nosotros sí.
Entonces aquí tendríamos nuestro primer elemento que sería t sub cero y luego
tendríamos nuestro t sub uno, nuestro t sub dos y así nos vamos,
en matemáticas es bien común que uno diga este t sub i menos uno,
y el que sigue es el t sub i lo puse un poquito más grande si no no me
caben las letras, pero aquí estaría este intervalito, ¿no?,
del espesor delta t que está dado por t entre n, ¿no?
Esto es hacer matemáticas, sí, y ahorita vamos a seguir aquí con la expresión.
Me gustaría por si esto no se hubiera anotado muy bien,
yo quería tenerlo delgado, pero vamos a ver qué tan posible es con este espesor,
poder escribir las cosas, sí.
Hasta t sub i, aquí está nuestro delta t, nuestro t entre n.
Vean ustedes nuestro arreglo.
Este arreglo se parece al de excel, okey, tengo una columna para los tiempos,a aquí
puse unos puntos suspensivos porque quiero decirles aquí vamos a generalizar, ¿no?
Aquí tengo la columna de la y, ya le dije y,
ya no le dije m, fíjense otra generalización.
Basta de la m, o sea vamos a ponerle aquí, esa m de magnitud o de masa,
¿no?, ya basta de esto, en matemática lo que nos gusta es la y,
¿no?, y entonces vamos a hablar de y de t, okey.
Y una generalización más, que aquí la estoy viendo, fíjense como en esta
celda yo no les dije vamos a poner el uno, en excel tenía que dar un número pero aquí
voy a decir vamos a ponerle cero, o sea el valor inicial de la magnitud que sea.
Entonces ahorita tendríamos ese valor de y sub cero, ¿sí?,
en el tiempo cero tendría un valor de y sub cero,
¿sí?, gramos, la masa, o de x, lo que sea ahorita.
Deje la variable t porque creo que sí nos conviene ahorita seguir pensando
en el tiempo, ¿sí?
Este es mi valor inicial pero este valor inicial de la magnitud
también coincide con la derivada en cero, okey.
Entonces cuando hablemos del cambio de la magnitud,
en el intervalo que va de aquí a acá, ¿sí?
Tendríamos que poner que este delta y es igual a qué,
o es aproximadamente igual perdón, a qué,
a la derivada en cero que sería y prima en cero por el delta t, ¿cierto?
Entonces por un lado tendríamos el y sub cero que está
representando el valor inicial de la magnitud pero al mismo tiempo
sabemos que el mismo valor es justamente y prima en cero, ¿cierto?
Entonces este y cero ahorita representa el y evaluado en cero,
y también representa la derivada en cero, okey.
Entonces eso me permite que en esta expresión podríamos escribir en lugar de,
no en esta no, vamos a dejarla como y prima de cero por delta t, y vengamos,
no, me parece que es preferible que pongamos el valor
en términos de y sub cero siendo de que me quedan los espacios mejor, ¿sí?
Entonces aquí me va a quedar qué, delta t,
no hice ninguna trampa aquí está el y sub cero, es y prima cero
pero y prima en cero es lo mismo que y de cero y es lo mismo que y sub cero, okey.
Entonces aquí esta expresión para el cambio de la magnitud y aquí tengo
el valor inicial.
¿Qué es lo que haríamos en esta celda?
Lo que hicimos acá con excel, o sea,
¿qué le diríamos a excel que ahora le dijimos a nosotros?
Nosotros, a ver, vamos a tomar el valor inicial que es el que tenía acá
arriba y le voy a sumar este cambio, ¿no?,
que sufrió esa magnitud que sería y cero por delta t.
¿Cierto?
O sea tome el de aquí y le sumé el de acá.
Voy a señalárselos un poquito para que no lo pierdan de vista.
Este y este, ¿no?, esas expresiones las sumé, ¿no?,
las vine a sumar y lo ponemos aquí abajo, ¿no?
Y en esas expresiones estamos haciendo nuestra acción básica de decir al
valor inicial le sumo le cambio y al valor inicial le sumo el cambio, ¿no?
Tengo entonces un nuevo valor inicial pero como buenos matemáticos que
somos pues vamos a hacer algo que se puede hacer aquí, ¿qué sería qué?
Pues hacer una factorizacin, y cero que multiplica a uno más delta t, okey.
Y este es mi nuevo valor con el cual voy a calcular un valor del cambio.
El valor del cambio se calcula, cómo, multiplicando la derivada de quién,
de lo que tengo acá, en este caso este es el dato de la derivada también o nuestra
ecuación diferencial, entonces vamos a calcular aquí este delta y como y
cero por uno más delta t, ahorita qué estoy haciendo, estoy copiando este.
Y eso qué le vamos a hacer, lo vamos a multiplicar por delta t, okey.
Entonces tenemos nuevamente aquí un valor, vamos a ponerlo, es este,
este es mi valor inicial y este es el cambio que sufre y qué es lo que vamos
a hacer, nos lo vamos a traer a esta celda y lo vamos a sumar, ¿no?
Y entonces nos quedaría y cero por uno más delta t más y cero
por uno más delta t por delta t, okey.
Y entonces otra vez como buenos matemáticas
aquí hay una factorización posible, ¿sí?
O sea si ustedes observan aquí, espero que esto les ayude,
hay dos términos, aquí un signo de más que me separa estos dos términos, ¿sí?
Pero el primer término tiene esta parte,
que puedo leer y cero por uno más delta t por uno, ¿sí?
Y el segundo término también lo tiene, tiene lo mismo,
es y cero por uno más delta t por delta t, ¿sí?
Es como si tuvieran ustedes, se los voy a poner acá, acá arriba, ¿no?
Es como si tuvieran ustedes a por b más c.
Verdad que esto es a por b más a por c, ¿sí?
Yo les he dicho como es bien importante en matemáticas ver un,
como las expresiones en espejos, ¿sí?
O sea aquí estoy poniendo a por b más c del lado
izquierdo y aquí estoy poniendo a b más a c del lado derecho,
y yo les he pedido que sean capaces de verlo al revés, ¿no?
Si ustedes lo ven al revés, aquí estaría yo pidiéndoles que asociaran esta
letra a con esto que les resalté y esta letra a con esto que les resalté, okey.
Y entonces lo que haríamos es pensar en estas como la a,
y sacarlas, ¿no?, afuera en un paréntesis.
Eso es lo que voy a hacer, voy a poner y cero por uno más delta t, ¿sí?,
y esto que multiplica a qué, o sea esta es la a, ¿cierto?
Esta es esta a que multiplica a la b que sería un
uno y multiplica a la c que sería este delta t.
Y total aquí la expresión nos quedó y cero por uno más delta t al cuadrado, ¿cierto?
Al quedar y cero por uno más delta t al cuadrado,
esto está para t sub dos, o sea estoy bajándome para este renglón, ya no me va
a servir este renglón para t sub tres, ¿se fijan?, porque ya lo llené acá.
Pero al menos bueno, si me están siguiendo en el video podríamos ahorita
decir tenemos un nuevo valor de la magnitud y ese valor lo vamos
a aprovechar para generar un valor de la razón de la cambio,
y esa razón de cambio se obtiene cuando simplemente a ese valor que
es y cero por uno más delta t al cuadrado lo multiplicamos por delta t, ¿sí?
O sea las acciones en esta columna son sencillas, es solamente tómate el de acá y
multiplícalo por delta t, y bueno si me siguen y me aguantan todavía,
yo los invito a que aquí hagamos nada más el de
cero para hacer una expresión general, ¿sí?
¿Cuál sería el considerado para t sub tres?
Tendríamos que juntar este término con este de acá,
¿cierto?, vamos a sumarlos entonces, ¿qué nos va a quedar?
Y sub cero por uno más delta t al cuadrado más el de acá,
y sub cero por uno más delta t al cuadrado por delta t, ¡caray!
Esto si son matemáticas, ya se siente lo pesado de las matemáticas,
tenemos algo que podemos factorizar, este término
está aquí con su cuadrado y aquí está también con su cuadrado, ¿cierto?
Y entonces como están ahí juntitos,
los vamos a poder sacar de factor, lo voy a hacer aquí abajito,
sería y sub cero por uno más delta t al cuadrado que multiplica,
¿a qué?, a esto por un uno más lo mismo por delta t, ¿sí?
Y esto nos va a generar la expresión y sub cero por uno más delta t al cubo, ¿cierto?
Y sub cero por uno más delta t al cubo,
y en este momento podemos hacer una generalización, ¿no?
Una inducción, buscar un patrón de comportamiento.
En t sub uno era y sub cero por uno más delta t,
en t sub dos es y sub cero por uno más delta t al cuadrado,
en t sub tres es y sub cero por uno más delta t al cubo, ¿sí?
¿Qué va a ser en t sub cuatro?
A lo mejor ya lo están diciendo mientras yo estoy aquí subrayando, ¿no?,
va a ser y sub cero por uno más delta t a la cuatro.
Y entonces, ¿qué va a ser en t sub cero, t sub cero, t sub n?
Para este t sub n, ya generalizamos, vamos a ponerlo acá.
Pensando en t sub n, ¿cómo pondríamos nuestra expresión?
Nuestra expresión quedaría así, el valor de la y en t,
estaría aproximándose por,
y sub cero por uno más delta t a la,
si este es sub n, tendría que ser aquí a la n, okey.
Bonita fórmula matemática,
esta fórmula me está diciendo como calcular valores aproximados,
pero si quisiéramos que fuera el cálculo exacto, tendríamos
que atrevernos a pensar en qué pasaría si mejoramos, si mejoramos esta expresión.
Podríamos poner la expresión en términos también de t y n,
sería y sub cero por uno más t entre n a la n.
¿Sí? Esta es la expresión de y de t porque
acuérdense que teníamos que el delta t es t entre n, ¿no?
Y entonces bueno, pues podríamos acabar, ¿no?,
en este video haciendo la expresión que, digamos nos va a modelar
matemáticamente a esta situación en donde la derivada coincide,
de una función coincide con ella misma.
Nada más que esa expresión sí se va a ver un poquito complicada, ¿no?,
porque lo que tendríamos que hacer es hacer que nuestro proceso de
aproximación fuera cada vez mejor y para decir cada vez mejor es lo
mismo que decir que el número de intervalos, este número de intervalos
en que estamos dividiendo a todo el intervalo original,
sea un número cada vez más y más y más grande, ¿cierto?
Y para decir eso en matemáticas uno dice vamos a hacer que
n tienda a infinito, ¿no?
Vamos a ponerle aquí, por qué no, por qué no.
Ya entrados aquí en el asunto pensemos qué pasaría si n tiende a infinito, eso lo que
hemos hecho con excel al decirle cada vez un valor de delta t más chico o al haberle
pedido que nos redondeara las cifras decimales, etcétera, etcétera.
Entonces vamos a hacerlo en el papel también, vamos a atrevernos a pensar
matemáticamente en este tipo de procesos infinitos.
Y entonces el modelo matemático que nosotros andamos construyendo ahorita
sería un modelo que tendría una expresión, ya sería un igual, ¿se fijan?
O sea ya estoy pensando en ese proceso de aproximación infinito,
no por infinito imposible representable matemáticamente cuando utilizamos
la letra, la palabrita esta o esta abreviación lim,
límite, la palabra límite aquí en matemática significa atrévete
a pensar qué pasaría si, la n tiende a infinito, ¿sí?
¿Qué pasaría si la n tiende a infinito?
Si la n se hace cada vez más y más y más grande, ¿no?
¿De qué?
¿Qué pasaría con y sub cero por uno más t entre n a la n, no?
Esta sería nuestro expresión matemática hasta ahorita, ¿no?
Que estaría dando la certeza de los procesos de aproximación infinitos.
Esta seria la expresión matemática que estamos encontrando para quién,
para una magnitud y de t que cumplía con qué,
con que su derivada era igual a ella,
y que cumplía con que el valor inicial es cero, es justamente
el número y sub cero que está aquí en esta fórmula, ¿no?
La variable t aquí se encuentra y bueno,
pues ahorita aunque queramos o no queramos, ¿no?
Estamos ante la presencia de lo que es realmente el cálculo, este proceso, ¿no?
de introducir los infinitos en la matemática,
ya no estamos hablando de álgebra, aritmética, geometría, ¿no?
Estamos hablando de un pensamiento matematico avanzando en donde nos
atrevemos a hacer cosas como esta.
Ahí está la fórmula, que no es operable, estoy de acuerdo,
o sea no es fácil de operarla, no es fácil de meter los números y decir cuánto salió.
Pero tenemos una oportunidad, porque nuestros videos de simbolización
nos va a permitir hacer de esto una fórmula
funcional.
