Los cursos de Cálculo Diferencial y Cálculo Integral tradicionalmente se ofrecen separados y respetando ese orden. El primero estudia la derivada, y el segundo, la integral, siendo este momento en el que aparece el Teorema Fundamental del Cálculo (TFC) para establecer la relación entre ambos conceptos. En el presente curso vamos a hacer una diferencia: introduciremos la derivada y la integral como conceptos relacionados desde un principio. Vamos a iniciar con la interpretación del Teorema Fundamental del Cálculo, con esto nos referimos a descubrir su significado real en la solución de problemas. Llegaremos a asociar con él la actividad práctica de calcular el valor de una magnitud que está cambiando. Habiendo realizado esta interpretación, los conceptos de derivada e integral se verán relacionados desde un principio, lo que te permitirá predecir el valor de una magnitud que está cambiando. Las nociones fundamentales de derivada e integral las identificaremos con las ideas de “razón de cambio” y de “acumulación del cambio”, y el TFC nos proveerá de la estrategia de solución. Recordarás que la Matemática Elemental incluye el Álgebra, la Geometría y la Geometría Analítica. Podemos decir que éstas son Matemáticas que estudian lo estático. En cambio, la Matemática Superior, que incluye el Cálculo, estudia lo dinámico. Con el Cálculo se inicia el estudio del cambio, una realidad presente en nuestro entorno cotidiano sin duda alguna. Costos, temperaturas, poblaciones, velocidades, energías, capitales de inversión, longitudes, etc., son algunos ejemplos de esto. En este curso podrás entender al Cálculo como una estrategia de solución para el estudio del cambio y diferenciarlo de las Matemáticas Elementales, aunque utilice de ellas bastante información. Al finalizar este curso podrás: Describir de qué manera los modelos matemáticos polinomial, exponencial natural, y trigonométricos (seno y coseno), son una construcción que responde a esta práctica de predicción. Los verás a todos ellos surgir de esta práctica cuando una magnitud real particular cumple ciertas condiciones en su “razón de cambio” con respecto a la magnitud de la que depende. Utilizar la introducción de procesos infinitos (¡no imposibles!) en la construcción de la respuesta de predicción, con ello entenderás por qué se habla de Matemática Superior y de un pensamiento matemático avanzado. Valorar una forma de pensar diferente, donde nuestro razonamiento matemático trascienda la sola manipulación de fórmulas algebraicas.
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5.- Cálculo Diferencial e Integral unidos por el Teorema Fundamental del Cálculo
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Tecnológico de Monterrey
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Inicio e introducción al curso y a la tecnología
Abordaremos aspectos relacionados con el diseño y desarrollo del curso. Plantearemos las razones por las cuales ofrecemos un acercamiento a los contenidos del Cálculo Diferencial e Integral bajo una perspectiva que no ha sido contemplada en la enseñanza y aprendizaje tradicional de estos temas. Además, nos familiarizaremos con el uso de diferentes tecnologías digitales como medio para apoyar esta propuesta didáctica.
與講師見面
Dra. Patricia Salinas MartínezProfesora Titular
Campus Monterrey
Bienvenidos a este curso.
En este curso vamos a hablar de cálculo, cálculo de funciones de una variable real.
Suena algo divertido, verdad, realmente yo creo que las cuestiones que vamos a ver
en este curso, ustedes ya las han visto antes porque trataré ciertos temas que
se ven comúnmente en un curso de cálculo diferencial y cálculo integral.
A lo mejor ustedes están aquí porque pensaron, bueno pues vamos a ver que Paty
nos recuerde, ¿no?, tan agradables momentos de aprendizaje del cálculo,
y puede ser, o sea les voy a recordar algunas cosas ciertamente,
pero créanme que yo confío en que por al menos
tres razones les voy a dar un acercamiento al cálculo diferente,
un aprendizaje distinto porque primero,
la primera de mis razones es porque creo que es necesario que rompamos con
esta idea de que primero se tiene la teoría y después se tiene la práctica.
Si ustedes confían en todo lo que he estudiado, ¿no?,
en mi preparación profesional, creerán cuando les digo que esta teoría,
la que vemos en los comunes libros de texto, realmente es un
fruto de la fundamentación de la matemática como teoría científica.
Es trabajo de matemáticos que se ocuparon de dar un orden, una organización a todo
ese conocimiento matemático que por otro lado estaba siendo útil en una práctica.
No obstante, esa teoría está respondiendo a algo
más bien de fundamentación que no corresponde con la aplicación.
O sea en la aplicación lo que se tiene son ideas, lo que se tiene son
estrategias de solución de problemas y con problemas entiéndanme que no me estoy
refiriendo a los ejercicios de cálculo que comúnmente ustedes han disfrutado.
Entonces como les decía mi primera razón va a ser yo voy a romper con esto,
y eso no quiere decir que yo vaya a decir tampoco primero va a ser la práctica
y luego va a ser la teoría, realmente qué es lo que vamos a hacer,
pues hasta ahorita tengo ideas no, no se crean,
yo se lo que vamos a hacer pero no vamos a ponerlo ahorita sobre la mesa porque
espero que eso sea un atractivo para que sigan ustedes en este curso.
Voy con la segunda razón, la segunda razón por la que yo confío en darles algo
diferente es porque vamos a hacer que la tecnología sea un
integrante de nuestro proceso de aprendizaje, va a ser un aliado,
va a ser un aliado cognitivo digamos, hay mucho de matemáticas que está
ahora en la tecnología y precisamente eso de teoría y práctica lo vamos
a poder fusionar, ¿no?, a través de conceder
a la tecnología digital un papel importante en este proceso educativo.
Entones váyanse preparando porque vamos a utilizar
hojas de cálculo como excel, vamos a utilizar graficadores,
cuestiones que ahorita están a la mano para todos nosotros y son de fácil acceso.
Y entonces estarán interviniendo dentro de nuestra interacción con la matemática.
Va la tercera, la tercera razón por la que yo creo que les voy a dar algo diferente
es que bueno, imagínense esta situación,
yo me traigo un libro de cálculo, los libros de cálculo que tradicionalmente
tenemos acceso son libros más o menos así de gruesos, imagínense,
aquí está todo lo que usted debe de saber del cálculo, ¿no?
Si ustedes hojean un libro de cálculo y empiezan a ver el índice, como va y demás,
va a llegar un momento en que van a encontrar un tema que es el teorema
fundamental del cálculo, más o menos está por la mitad del libro,
o sea si ustedes abren el libro y ven las hojas donde está el teorema
fundamental del cálculo, hagan de cuenta que lo que vamos a hacer es arrancar
esas hojas del teorema fundamental y llevárnoslas hasta el inicio.
¿Cómo es posible eso?
Bueno, físicamente es bien fácil pero realmente no se trata nada más
de un reacomodo de los temas,
es toda una reestructuración del contenido matemático, ¿no?
Si ustedes recuerdan ese teorema, bueno a lo mejor no lo recuerdan, si hacemos un
poquito de memoria yo si más o menos veo por ahí el teorema fundamental,
es más, lo estoy viendo ahora si me acompañan en la computadora.
Vean ustedes el teorema, se los voy a leer con bastante entonación,
sea f de x una función continua en el intervalo cerrado de a b entonces la
integral de a b de f de x dx es igual a f de b menos f de a donde f de
x es una antiderivada de la función f de x es decir f prima de x es igual a f de x.
¿Qué tal, quedó claro?
Si ustedes piensan que eso es claro,
pues diría yo bueno, no se para que estoy aquí, la mera verdad.
Créanme que cuando yo empiezo a leer este teorema y digo
fíjense ni siquiera, ni siquiera tuve la precaución de decir cuando la f,
esa tal f que está ahí es mayúscula o es minúscula,
debí de haber dicho, es más déjenme usar este recurso, ¿no?
Debí de haber dicho sea f minúscula una función
continua en el intervalo cerrado a b entonces la integral de a b de
f minúscula es igual a f mayúscula en b menos f mayúscula en a,
donde f mayúscula es una antiderivada de la función f minúscula,
es decir f mayúscula prima de x es igual a f minúscula de x.
¿Qué tal, ahora sí quedó claro?
Pues no verdad, o sea realmente ese es uno de los grandes problemas con la
matemática, la matemática es un lenguaje simbólico y ese lenguaje simbólico
se le ha quitado significado, cuando se ha hablado de la teoría matemática se quita
el significado y ya no sabemos de qué estamos hablando más que de letras, ¿no?
Si me acompañan yo creo, sobre el papel yo creo que sería más fácil hacer claro
como quisiera yo que en este curso recuperáramos el significado.
Ustedes ven aquí si lo vemos aquí en el papel, aquí tenemos el
teorema y ya he introducido aquí esta fórmula que es típica,
¿no?, cuando estamos estudiando cálculo, ¿no?
Este es nuestro personaje en cálculo es la función, por eso la letra f, ¿no?
Yo quiero aclararles que en esta función está escondido todo ese significado,
en el sentido siguiente, vean ustedes que las famosísimas letras y y x,
significan magnitudes que están cambiando, o sea cómo que una magnitud,
o sea a eso me refiero cuando yo pienso por ejemplo en una temperatura,
puedo pensar en una posición, puedo pensar en una energía,
puedo pensar en un volumen, puedo pensar en una aceleración, trabajo,
diferentes magnitudes que están cambiando, la población en el mundo,
la estatura que tengo cuando voy creciendo, etcétera, etcétera,
en todas esas magnitudes están aquí en la letra y, y esas magnitudes dependen
de otra magnitud que en este caso es la letra representada con la letra x,
la variable x entonces significa, muchas veces significa tiempo porque es
como que natural que nosotros pensemos que algo varíe con respecto al tiempo.
Sin embargo no tiene que ser, piensen simplemente en la fórmula para el área de
un círculo, pi por radio al cuadrado, si no la recordaban bueno aquí se las pongo,
es típico una área es igual a pi por radio al cuadrado y aquí ya estoy poniendo que
la magnitud área depende de la magnitud radio, ¿no?
O sea se fijan, mientras haya relaciones entre magnitudes eso se va
a representar matemáticamente con esta expresión y igual a f de x.
Entonces cuando el teorema fundamental me está diciendo que sea y igual a f de x una
función continua en el intervalo cerrado a b, y está hablando de una magnitud
y que depende de otra, y que la variación de ella es digamos suave,
la palabra continua es como decir suave, o sea qué quiero decir eso de suave.
Hay una variación, tomo dos valores de x que estén suficientemente cercanos
entre sí, los valores correspondientes de sus y también van a estar cercanos.
Ciertamente en la teoría hay mucho que decir sobre esto de la continuidad,
es un tema apasionante y ojalá haya otro curso donde podamos profundizar sobre eso,
sin embargo ahorita porque me interesa que sean las aplicaciones lo que veamos,
tomaremos esta idea de continuidad como esa idea de un comportamiento
suave de la magnitud, o sea hay valores cercanos de x,
se convierten en valores cercanos de f de x, o sea de la y, okey.
Entonces cuando tenemos ahora la integral de a hasta b de f de x
minúscula la f de x, igual a a la f mayúscula en b menos f mayúscula en a,
tenemos que ver la relación entre las f, se fijan, y esa relación está dada donde
en una palabra la función f de x mayúscula es
una antiderivada pero decir eso es lo mismo que decir esto de acá, ¿no?,
se fijan aquí tenemos que la derivada de la función f mayúscula es igual a f
minúscula, y ahí está el secreto que me va a proponerles una conexión.
Voy a cambiar de marcador y les propongo que en un verde
utilicemos cada vez que veamos f de x,
utilicemos su equivalente que es f prima de x pero mayúscula, ¿no?
Hagan de cuenta que lo que estamos haciendo es un ejercicio en álgebra,
mucho en álgebra tiene que ver con esta acción de sustituir,
entonces qué voy a hacer, voy a sustituir, donde diga
f de x minúscula pongo f mayúscula prima entonces eso hago que voltee acá
y en este momento esta f mayúscula se viene acá,
acá la vamos a poner y entonces las cosas verán como van a cambiar.
Tengo aquí una filmina, la voy a poner encima para que podamos
hacer más maniobras algebraicas, sí, y entonces hacemos lo que dijimos,
nos traemos esta f mayúscula para acá, cierto, y entonces cómo nos va a quedar
la integral, nos quedaría la integral desde a hasta b de f
mayúscula prima de x es igual, no perdón diferencial de x,
dx es igual a f de b menos f de a.
Al menos hice algo con ustedes ahorita ya no voy a tener que cambiar de f
minúscula a f mayúscula, cierto.
Todo está con f mayúscula, ahora les voy a permitir darme un paso
que es como les diría, algo muy convencional.
En matemáticas como que a la función no les gusta la letra f mayúscula
y preferimos ponerle la letra f minúscula entonces lo que yo voy a hacer
ahorita es un simple cambio, no es algo
matemático sino que es una convención de que donde esté la letra f
mayúscula voy a poner f minúscula, sí y entonces cómo nos va
a quedar esta integral, nos va a quedar a parte de azul la integral desde a hasta b,
esta f mayúscula la pongo como f minúscula de x dx igual
a f minúscula de b menos f minúscula de a.
Y ya no voy a decir minúscula, mayúscula,
matemáticamente estos dos objetos créanme son exactamente lo mismo.
Esa es una de las grandes dificultades de las matemáticas,
¿no?, este trabajo con las letras.
Solamente hice un cambio de f mayúscula por f minúscula y nuestro personaje
de la función llegó nuevamente con nosotros, ¿no?, y ahora lo que voy a hacer
es en esta expresión voy a hacer otro trabajo algebraico, se llama despejar.
O sea qué quiero decir con despejar, quiero despejar este que está aquí,
el f de b, okey, vamos a despejar ese f de b,
eso quiere decir que le quitemos eso que tiene al lado, ¿no?, eso es despejar,
¿no?, hasta las palabras también sirven para explicar los procesos algebraicos.
Entonces vamos a despejar f de b y entonces este f de b nos va a quedar igual
a la parte que tenemos acá que sería qué, bueno,
podríamos poner este término primero, si lo pasamos de una vez al otro lado
sería f de a más la integral desde a hasta
b de f prima de x dx, sí.
Vean ustedes que no hice chapuza, fíjense este de aquí lo puse acá, de acuerdo,
hice ahorita uso de algo que matemáticamente también es una dificultad,
cuando uno ve una igualdad matemática, fíjense voy a ponérselas aquí,
si veo la igualdad a igual a b, yo puedo leer a igual a b,
pero mi cabeza también tiene que pensar b igual a a, hay una
reversibilidad en los procesos cuando se utiliza la simbología matemática,
o digo a igual a b, o digo b igual a a, os a puedo leerlo al revés,
qué tal, eso se vale en matemáticas, ¿no?
Entonces yo inconscientemente leí al revés esta parte,
porque en mi cabeza había f de b menos f de a es igual a la integral
de a hasta b de f prima de x dx, o sea sí se los puse un poco más chico,
espero que sí lo noten, o sea ya lo vi en un espejo, es como si aquí hubiera un
espejo y viera la parte de la derecha primero y luego la de la izquierda.
Y ya acomodado de esta manera el f de b
lo traje al principio y este f de a con el signo negativo pasó del otro lado
con el signo positivo que nos escribe, ¿no?, a veces esos signos positivos no se
escriben y pareciera que todo debiera de ser claro, ¿no?,
para el que quiera aprender matemáticas y la mera verdad es que no es así.
Total, ¿qué fue lo que hicimos con este teorema fundamental?
Lo estuvimos trabajando un rato algebraicamente y nos quedó esta
expresión que tenemos aquí, que ahora les voy a recuperar en esta hoja
para hacer un último análisis.
Yo ya me la se y si no ahí la tenemos abajo,
la vamos a poner con el color azul para no variar.
Tenemos f de b es igual a f de
a más la integral desde a hasta b de f prima de x dx.
Si ustedes ya han visto el curso de cálculo como les decía, convencionalmente
pues ya estarán claros de que aquí están los dos personajes principales, ¿no?,
quienes Aquí lo que me está expresión es
que el valor de la función b, quién era este b, este b que está aquí,
se fijan, o sea es el valor en este número digamos b.
Para encontrar el valor de la función en este número b, lo que necesito es
al valor de la función en el numero a sumarle esto que está aquí,
sí, o sea acuérdense que esto es una magnitud,
o sea que esto es un valor numérico de algo, de un volumen.
El volumen de no se, de una esfera,
antes era uno, imagínense que la esfera se está inflando, ¿no?
Entonces el volumen está aumentando, okey, entonces este sería el volumen de la
esfera cuando el radio es b, y este sería el volumen de la esfera cuando el
radio era a, y esto que se le está poniendo aquí pues vendría siendo qué,
el cambio que sufrió el volumen de la esfera, ¿no?
Por decirlo con números.
Fíjense, tan simple como eso.
Supóngase que el volumen, la esfera está creciendo y entonces el volumen es cinco,
después de que ya creció pero antes era dos,
o sea originalmente era dos el volumen de la esfera y luego
cambió ese volumen, la esfera creció y ahora el volumen es cinco, okey.
Entonces tan simple como decir cinco es igual
a dos más ya saben verdad, más tres, de acuerdo.
¿Qué estoy diciendo con esto?
El valor final del volumen
es igual al valor inicial más,
qué vendría siendo este número tres de aquí, este número tres de aquí viene
siendo el cambio, el cambio que sufrió esa magnitud, okey,
o sea si iii voy a poder predecir el valor final de una magnitud
si a un valor inicial, a un valor conocido le sumo el cambio que tuvo la magnitud.
Y ese cambio no tiene por qué ser algo positivo,
por ejemplo o sea podriamos pensar qué tal si la esfera se está desinflando, ¿no?
Entonces que pensemos, vamos a ponerlo de otro color por aquí, que la esfera estaba
en un volumen cinco, ¿no?, estaba inflada y se desinfló,
de acuerdo, y al desinflarse llegó al valor dos, de acuerdo.
¿Cuál fue el valor inicial?
Valor inicial era cinco, sí, el valor final es dos, de acuerdo.
¿Qué nos está diciendo el teorema fundamental del cálculo?
El teorema fundamental me dice que el valor final, que el dos es igual
al valor inicial que es cinco más el cambio,
¿cuál es el cambio que sufrió ese volumen?
Ese cambio, tendrían que estar de acuerdo conmigo es menos tres, sí.
O sea en este caso el cambio es un valor negativo que me estaría diciendo lo que
pasó lo que sufrió de cambio numérico esa magnitud que estábamos estudiando.
Ahorita lo que estamos haciendo es una reinterpretación del teorema fundamental
del cálculo.
El teorema fundamental del cálculo nos conecta la derivada y la integral, cierto,
y lo que estamos recuperando como una estrategia de solución de problemas,
lo que estamos recuperando para aplicar el cálculo es que vamos a estudiar
este problema de la predicción de valores de magnitudes que están cambiando.
¿Como vamos a poder predecir esos valores?
Bueno, lo que necesitaremos es un valor conocido
y aprender a encontrar el cambio que ha sufrido esa magnitud,
y ese cambio depende de qué, de la derivada y de la integral.
Pienso que con esto ya les he dado una idea
de por qué este curso va a ser diferente.
Este es el teorema, esta es la versión con significado del teorema fundamental del
cálculo que vamos a poner al principio de nuestro acercamiento
con el cálculo de funciones de una variable real.
Yo espero que con esto no se hayan aburrido y que al contrario estén más
animados para entrar en este curso, recuerden, o sea, además de poder
tomar algunas nociones que ya han visto, pienso que con buena oportunidad
les voy a ofrecer algo nuevo.
