Este curso forma parte de una secuencia con la que se propone un acercamiento a la Matemática Preuniversitaria que prepara para la Matemática Universitaria. En él se asocia un significado real con el contenido matemático que se aprende y se integran tecnologías digitales en el proceso de aprendizaje. El contexto real de llenado de tanques permitirá hacer una primera transferencia de significado y recapitularemos contenidos preuniversitarios relacionados con el Modelo Cuadrático. El período de acreditación para la materia Introducción a las Matemáticas ha concluido. La última fecha para recibir certificados de Coursera es 24 de julio 2017. Informaremos oportunamente cuando la opción de acreditación esté disponible de nuevo. Curso con crédito académico para alumnos admitidos y aspirantes a ingresar a su primer semestre de un programa de profesional en el Tecnológico de Monterrey. Si estás inscrito en este MOOC con el fin de obtener el crédito académico para el curso de Introducción a las matemáticas (Matemáticas Remedial), confirma tu interés en la acreditación a la cuenta: mooc@servicios.itesm.mx. Consulta las preguntas frecuentes para conocer el proceso de acreditación.
Derivamos la función cuadrática y antiderivamos la derivada
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2.- El Cálculo - Modelo Cuadrático
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Función cuadrática y su derivada lineal
Hablaremos del Modelo Cuadrático desde la perspectiva del Cálculo, considerando su derivada. Con esto podremos retomar el tema de la parábola vertical y reconocer su utilidad para la identificación de puntos máximos y mínimos en una gráfica. Hablaremos de la construcción y optimización de funciones como aplicación de lo que hemos aprendido.
與講師見面
Dra. Patricia Salinas MartínezProfesora Titular
Campus Monterrey
Vamos a continuar, ahora estamos you dentro de nuestro lenguaje involucrando la
función cuadrática, la ecuación cuadrática, el
discriminante, la parábola vertical, la función
derivada también, hablamos de ella en la ocasión anterior usando el software de
Graphmática quisiera que todos estos términos otra vez los volvamos a juntar
vamos a hacer una sesión en donde traigamos
a colación todos los contextos que hemos utilizado arribemos
nuevamente a nuestra x y y con conocimiento de
causa de dónde venimos y y hacia donde vamos.
Entonces si me acompañan ahorita traigo una presentación aquí en la pantalla en
donde quisiera hacer un recordatorio somero de que fuimos construyendo ¿no?
Fuimos construyendo nuestra
expresión algebraica del modelo cuadrático a partir de
considerar un contexto de tanques el llenado de tanques.
¿Se acuerdan?
Aquí era una razón de cambio constante de dos, eso hacía que el
nivel del agua se afectara, aumentara con este producto de 2 por t.
Este es una término lineal digamos, en la expresión, esta sería
digamos una expresión lineal para el nivel de agua en el tanque
que el sube al nivel a razón constante o que cambia uniformemente.
Acá tenemos un cambio uniformemente acelerado, ¿se acuerdan?
Ahora lo que hicimos fue que nuestra lleva tuviera un término 4t en el momento
de este, de empezar nuestra observación si t vale 0 la llave está cerrada.
A medida que el tiempo va aumentando la
razón de cambio va aumentando de manera uniforme,
o sea la razón de cambio de la razón de cambio es constante, ¿no?
Es este 4 que está aquí.
Y entonces así se construyo aquí nuestro termino 2t cuadrada, acuérdense
que este 2t cuadrada se construyo porque este 4 lo dejamos y
al término lo elevamos al cuadrado, lo dividimos entre 2 y entonces
nos queda 4t cuadrada entre 2 que nos da un 2t cuadrada.
Tenemos entonces el cambio
uniformemente acelerado, igualmente acá lo que hicimos fue la introducción de las
dos llaves porque este contexto de los tanques nos iba permitir fusionar, ¿no?,
el aporte de cada llave en una
sola expresión algebraica que lleva también a una
sola expresión para la función que, eh,
describe el comportamiento del nivel del agua ,¿no?
Cuando hay los dos términos: el que tenía una razón de cambio constante,
este de aquí, aporta el término 2t en la
expresión matemática y el que tenía una razón de
cambio de la razón de cambio constante, que es este 4 que está aquí el a sub 0.
Entonces aquí la aportación seria el, ¿Qué?,
4t cuadrada entre 2 que nos queda un 2t cuadrada, ¿no?
Finalmente en este recuadro lo que hicimos fue considerar
el nivel del agua y la posición de la partícula.
Hicimos una analogía entre estas dos expresiones, este
nivel inicial se convierte acá en la posición inicial.
Esta razón de cambio constante de esta llave se convirtió aca en una
velocidad inicial y esta razón de cambio variable, el 2t
perdón el dos 4t que teníamos aquí se convirtió en el a sub 0 t cuadrada
entre 2 que teníamos en esta parte.
you les había yo hecho la observación, si se acuerdan, o sea de cómo
en matemáticas o sea, lo que esta aquí se señala con una letra c ,¿no?,
o sea estoy señalándoles ahorita con el resaltador para que vean esto mismo como
r0 se convierte ahora en una letra b y como a0 entre 2,¿no?,
y a0 entre 2 simplemente se pone con la
letra a. ¿No?
Ahí hay una economía de c entre 2 no es importante
lo podemos englobar dentro de una misma letra, la letra a.
Y entonces si damos paso a esto hemos arribado a nuestro lenguaje con X's y Y's.
you estamos con el objeto matemático función cuadrática, ¿cierto?
Y esa función cuadrática esta digamos haciendo, eh,
representando al modelo cuadrático cuando seamos capaces de asociarlo
también con una razón de cambio, ¿no?, que especial.
Nos traemos entonces nuestra ecuación cuadrática, la función
perdón nuestra función cuadrática que you teníamos, ¿no?
En la temina anterior y al mismo tiempo nos traemos la partícula.
Nuestra famosa partícula que viene you
con su expresión algebraica, ¿no? que tanto hemos utilizado.
Y lo que vamos hacer es una identificación entre ambas expresiones, ¿no?
Para conectar con lo que you sabíamos de la particula y conectarlo con
lo que you sabemos por tanto de la ecuación, de la función cuadrática.
Vean como en la función cuadrática es común que nos la hayan presentado
con el término ax cuadrada como lo vimos con la ecuación cuadrática, ¿no?
Este termino primero,
luego este, luego este.
Pero cuando estamos en el contexto que nosotros hemos estado
trabajando aquí esta valor inicial de la posición de la
particula, sería el que hace las veces de este número
o este coeficiente se que no tiene la variable x.
Entonces nos conviene que hagamos un cambio.
Un cambio en los coeficientes de tal manera que la a
se va para donde va la c y la c se
va para donde va la a.
De esta manera you podremos hacer
la identificación del primero coeficiente, ¿no?
de la letra c con el coeficiente x sub 0.
O sea la letra c representa el valor inicial de la posición.
A su vez la letra b va a ser las veces del valor inicial de la posición,
no es cierto de la posición no, de la velocidad, ¿si?
Y finalmente la aceleración que tenemos aquí que viene siendo la razón de cambio
de la velocidad que está con el factor un medio lo vamos a asociar con la letra a.
Entonces you tenemos aquí una identificación, y lo llamo identificación.
Identificó que esta c es el valor inicial de la posición ,identifico
que este coeficiente b es el valor inicial de la velocidad, identifico
que este coeficiente a es la mitad de la aceleración constante
que lleva nuestra partícula que describe un movimiento
MUA, no? Movimiento Uniformemente Acelerado.
Habiendo hecho esta identificación tenemos información de lo que sabíamos.
you sabíamos que si la posición era x sub 0 más b sub 0 t
más un medio más sub 0 t cuadrada, esta expresión respondía a la velocidad a v
sub 0 más a sub 0 t Osea vean como este término v sub 0 aporta a esta
expresión y este a sub 0 aporta de esta manera en esta expresión.
Donde habíamos estado acostumbrados a que este un medio lo poníamos aquí el numero 2
debajo del t cuadrada ¿no? Ahora ¿qué podemos decir que sabemos?
Vean como aquí les estoy escribiendo la función cuadrática como
ahora lo estamos viendo con nuestros coeficientes c, b y a.
Y ahora vamos hablar de su razón de cambio.
En la razón de cambio ¿qué vamos a poner?
Ponemos esta b que es lo que esta detrás de la x, estoy haciendo la analogía
con lo que paso acá.
Acá detrás de la t estaba v sub 0 y lo puse en esta posición.
Aca detrás de la x esta el ab que la pongo en esta posición.
Por otra parte vean ustedes que aquí teníamos un medio de a sub
0 y lo que se aporto en este lado es a sub 0.
O sea si yo pienso que operación tengo que hacerle a esta cantidad,
¿no? .
La que les estoy señalando.
¿Qué operación le hago para que se convierte en a0?
Muchos de ustedes pueden estar pensando pues multiplica por 2, ¿ok?
Si mol multiplico esto por 2 lo que voy a obtener es este a sub 0, ¿no?
Entonces hagamos lo mismo acá, ¿qué le hago a
este número para que pase lo mismo que tenemos acá?
De aquí acá se hizo una multiplicación por 2, pues hagamos lo mismo acá.
De aquí acá multiplico por 2 entonces me queda el término 2ax, ¿no?
Visto de esta manera entonces estamos generando digamos
una manera yo le digo algorítmica mecánica ¿no?
de obtener la expresión de abajo de la de arriba.
Y en ese sentido
les digo de derivar.
Derivar en el sentido del término como les he
platicado, porque viene o proviene de otra cosa ¿no?
O sea si yo veo la expresión acá arriba y me quedo con la letra b y la pongo.
Y luego más y este número a ¿no? esta letra a que es un número, si claro,
multiplicado por este 2 que está aquí los pongo aquí y dejo la
x a la 1 potencia.
Entonces si estoy haciendo digamos parafraseando una forma de obtener
la expresión de abajo con respecto a ver la de arriba.
O sea lo que les estoy proponiendo entonces es lo que ahorita en
este cuadro central podríamos estar considerando en
forma general y con el nuevo lenguaje.
¿A que me refiero? Me refiero a que hablemos de
una magnitud representada mediante la función cuadrática y hablemos
en general de su razón de cambio, ¿no? Que es su derivada.
La derivada, como habíamos hecho con anterioridad,
estaría señalada como f prima de x.
Y esa derivada ordenada como esta forma, vean
como, podríamos decir este numero 2 se va
poner detrás de la a, dos veces a, la x you no va quedar a la 2.
Como que a la 2 se le quita 1 y you me quedo x a la 1.
Y esta letra b que esta detrás de x también la dejamos solita ¿no?
Que también equivale a que si esta x tiene un uno aquí pongo el uno multiplicando a
la b y la X me va quedar a la uno menos uno que es un cero.
O sea por eso no aparece la x aquí.
x a la 0 es 1.
Y este factor constante, este término constante, la letra
c ese you no va aparecer en la expresión.
Como no aparece acá, el x sub 0 en la expresión de
abajo o en la letra c en esta expresión de abajo ¿no?
Tenemos entonces un juego muy algebraico,
déjenme ponerlo aquí, este juego algebraico.
¿A qué me estoy refiriendo?
Me refiero
a que yo puedo ir de aquí acá ¿si?
Como tomando este 2 poniéndolo detrás de
la letra a que está aquí y dejando la letras x pero la potencia le quito
uno tomando este coeficiente v y dejándolo solo ¿no?
que es también como haberle quitado a la potencia x a la 1 le quito 1 menos
1 me queda x a la 0 que es 1. you me queda con la letra b nada más.
Y sin tomar en cuenta este número c o este parámetro.
you de ahí me fui de arriba hacia abajo
pero también me puedo ir de abajo hacia arriba ¿no?
¿Si?
O sea para irme de abajo hacia arriba si
va a ser necesario que conozca un dato inicial, ¿no?
De la magnitud y que después este número que está
aquí solito v se lo ponga en este lugar multiplicando por x y que este
otro número que tengo acá este 2a por x. ¿Qué le vamos hacer?
Este 2a por x, mi propuesta es como habíamos hecho con
anterioridad dejen el 2 a y a la x pónganle al cuadrado entre 2.
Se va cancelar este 2 con este 2 y nos va quedar justamente
ax cuadrada.
Estoy repasando con ustedes procedimientos que a lo mejor you ustedes habían
conocido, uno se llama derivar, voy a derivar la función cuadrática.
La derivada de ax cuadrada más bx más c es 2ax más
v y por otro lado estábamos repasando este otro procedimiento que sería anti derivar.
O sea la palabra
anti derivar la estamos poniendo en el sentido de hacer esa, ese
regreso ¿no? Esa acción digamos de poder nos quitar la
letra y este decir que
cuando pongamos la expresión de arriba tendremos aquella
función a derivarla nos de 2ax más b. Entonces en este
juego, les estoy diciendo es un juego algorítmico, en
el juego algorítmico yo se derivar y anti derivar.
Me gustaría que no nos vayamos de este
video sin hacer estas operaciones con un ejemplo particular
que tenga números porque yo se las dificultades que
ofrece, en que estemos trabajando con las letras, ¿no?
Entonces si me permiten yo quisiera poner
aquí mismo, no me quiero ir de esta filmina, porque
sino se nos va a ir la expresión de ahí.
Vamos a tomar un color negro, ¿no?
para neutralizar aquí las cosas y piensen ustedes en que la
función era y igual a f de x igual a una de las que
teníamos antes, 9x cuadrada igual a 6x más 1 nada más ¿no?
Esa es nuestra función
cuadrática, ¿quién es la derivada? Su derivada sería,
haciendo el juego algorítmico que dijimos, el numero 2 que esta
aquí multiplíquenlo por por el 9 les va quedar un 18 por la x que queda a la
1 y el número 6 que esta detrás del x lo dejamos igual
¿no? El 6 you sin la x, 18x más 6 ¿no?
¿Qué pasa cuando tomamos una expresión como la que pusimos después de ésta ¿no?
en donde en lugar del más 1 le pusimos una más 2, se acuerdan?
O sea cuando puse aquí el más 2, voy a cambiarle esto
por un 2, es como si al 1 le hubiéramos sumado 1.
Vean ustedes como la expresión de la derivada
vuelve a ser la misma porque al derivar este
2 ¿no?
o un 5 o un 8 lo que le pongas va volver a quedar solamente la expresión de abajo.
Lo que paso con la letra c cuando íbamos de aquí para aca ¿no?
De arriba hacia abajo la letra c desapareció, ¿no?
Entonces you podemos ahorita tomar, digamos, esta manera
algorítmica de derivar una función cuadrática y obtener la función lineal
que es su derivada al mismo tiempo aunque se batalle un poquito más you podemos a
la vez pensar en una derivada y construir
a partir de esa derivada la función original.
Claro teniendo un valor inicial de ella como un dato conocido ¿no?
Este juego algorítmico es un juego que se presta muy deporte algebraico, me
gustaría que repasáramos un poquito de él en la próxima presentación que tengamos.
Y que después you dominando el juego algebraico nos pasemos a lo gráfico
para que podamos avanzar en este estudio del modelo cuadrático.
