Este curso forma parte de una secuencia con la que se propone un acercamiento a la Matemática Preuniversitaria que prepara para la Matemática Universitaria. En él se asocia un significado real con el contenido matemático que se aprende y se integran tecnologías digitales en el proceso de aprendizaje. El contexto real de llenado de tanques permitirá hacer una primera transferencia de significado y recapitularemos contenidos preuniversitarios relacionados con el Modelo Cuadrático. El período de acreditación para la materia Introducción a las Matemáticas ha concluido. La última fecha para recibir certificados de Coursera es 24 de julio 2017. Informaremos oportunamente cuando la opción de acreditación esté disponible de nuevo. Curso con crédito académico para alumnos admitidos y aspirantes a ingresar a su primer semestre de un programa de profesional en el Tecnológico de Monterrey. Si estás inscrito en este MOOC con el fin de obtener el crédito académico para el curso de Introducción a las matemáticas (Matemáticas Remedial), confirma tu interés en la acreditación a la cuenta: mooc@servicios.itesm.mx. Consulta las preguntas frecuentes para conocer el proceso de acreditación.
De v(t)=2t a x(t)=t²
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2.- El Cálculo - Modelo Cuadrático
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Concibiendo un movimiento MUA
Retomaremos el Movimiento Rectilíneo Uniforme para con él concebir un movimiento en el que la velocidad varíe uniformemente. En esto la tecnología tendrá una participación decisiva. Podremos entonces hablar de un Movimiento Uniformemente Acelerado.c
與講師見面
Dra. Patricia Salinas MartínezProfesora Titular
Campus Monterrey
you hemos llegado a ver nuestro movimiento tipo MUA.
O sea, tenemos a nuestra chica MUA en la
pantalla y ahorita lo que vamos a hacer es trabajar.
Trabajar con ella, trabajar con sus gráficos hasta que seamos capaces de
poder decir cual es la expresión de la gráfica de la posición.
O sea, ¿Cuál es la expresión algebraica?
¿Cuál es la representación algebraica? you tenemos una imagen gráfica.
you sabemos que esa chica va a la derecha cada vez más rápido.
Lo que queremos ahora es poder dar una representación algebraica
de esa función y lo vamos a hacer gracias al software.
you les había dicho yo.
No estoy haciendo un acercamiento, digamos forma al cálculo.
No estoy haciendo un acercamiento en donde les defina.
¿No? Lo que se estable
velocidad instantánea.
Lo que estoy optando más bien es por mostrarles
una gráfica y que sea a través de esta gráfica.
¿No?
Que les haga yo percibir lo que es una velocidad sea variable.
Con todo la variación que hay aquí en esta recta.
¿No?
Que me está representando a los números reales.
¿No?
Y que sabemos que es bastante.
¿No? Bastante variación que a veces
pudiera ser incluso hasta complicada. ¿No?
Entonces ahorita, lo que está pasando es que estoy tratando de que vean ustedes
esto, como estoy levantando yo ahorita, el cursor, si me siguen con la flechita.
Estoy tratando de que vean que en cada instante, o sea en cada lugar donde me
pongan el eje horizontal, hay una vertical que
me está indicando la velocidad que lleva la chica.
Y eso es en cada instante. ¿No?
O sea, la velocidad
está aumentando. ¿Sí o no?
Se you me fui media ahí. Que bueno que no estoy rallando.
¿Okay?
Pero lo que se ve aquí es que la velocidad está aumentando.
¿No? Está creciendo.
Podríamos decir matemáticamente cuando uno veo un gráfico y
aquí ve el eje horizontal y acabe el eje vertical.
¿No?
Entonces uno este es lo horizontal. Este es el vertical.
Entonces uno dice a cuando varía lo horizontal.
¿No?
¿Qué está pasando
con las alturas? ¿No?
En este caso, las alturas están aumentando y por
eso, es que se dice que este gráfico es creciente.
Ambos gráficos en la pantalla ahorita son crecientes.
¿Okay?
Pero la expresión como se da ese crecimiento
es diferente desde el punto de vista matemático.
Aquí tenemos la expresión de v de t igual a 2t.
Si recuerdan esa es la que estamos trabajando.
Y aquí este la que no vamos buscando. Entonces vemos a nuestra chica moverse
por última vez ahorita no con una velocidad que está creciendo.
Y la chica se mueve así a la derecha cada vez más rápido.
Y ahora vamos a dejarle verla ella y pensemos solamente en los gráficos.
Entonces voy a hacer algo así. La vamos a, a tapar aquí.
Tapamos acá y vamos a tratar de jugar con el software.
Creo que me equivoque de la raya aquí.
Okay. Ahí está.
Vamos a ver en este caso, you tenemos aquí los dos gráficos juntos.
¿Sí?
Entonces olvidemos a la chica y pensemos solamente en estos dos.
Y permiten me que les muestra o
sea, como podemos funcionar, como podemos funcionase con
este software para que tengamos y la idea
clari, clara que lo que les quiero transmitir.
Miren.
Cuando yo me pongo aquí en el eje
vertical, doy un doble clic y aparece esta ventana.
Y esta
ventana que corresponde a esta gráfica de la
velocidad me permite hacer una variación en los ejes.
O sea, aquí está diciendo de donde a donde varía el
eje de tiempo y acá de donde a donde varía la velocidad.
Si observan aquí el máximo valor es 19.
19.609. Y este valor lo puedo yo cambiar.
Podría por ejemplo poner aquí.
Voy a poner un 25. ¿Por qué?
Porque acuérdense.
Yo sé que la velocidad es 2t.
Entonces, podría pensar que si llega a los 10 segundos, la velocidad va a ser 20.
Entonces me quiere un poquito más arriba al 25.
Le damos okay y vean lo que pasó en el gráfico.
O sea, es la misma recta es algo de aquí.
La escala se alteró.
Entonces ahorita tengo mi unidad en el eje vertical más pequeña
lo que provoca que pueda ver la curva. ¿No?
Hasta una longitud mayor acá.
¿No? Sobró por acá.
Lo mismo puedo hacer acá con el gráfico de esta posición.
¿No?
O sea, si yo acción ahorita tiene hasta un máximo valor de 48, vamos
a ponerle un valor mayor porque ahorita andamos en el tiempo más o menos de los 8.
Todavía faltaría algo de ahí. Si yo you ahorita
juego y le digo aquí, gráfica me hasta el 120, por decirme algo.
Vean ustedes como el gráfico you me está diciendo
toda la información que necesitaba cuando pasaron los 10 segundos.
¿Okay?
Lo que yo quisiera es acercarme, digamos a
los valores de la posición y estar sacando datos.
¿No?
De lo que vale la posición para diferentes tiempos.
Entonces para eso, ustedes me van a decir, pues aquí en
el tiempo 2 a ver ahí aquel altura está este punto.
Va a estar medio difícil la único cuando traigo
los lentes me hace que no voy a alcanzar.
Pero a ver lo pero puedo hacer un
ejercicio, digamos en el sentido del gráfico y
tratar de ahorita en esta ocasión sin alterar
el gráfico, solamente la variación del máximo valor.
Decir vamos a verlo despacito. Vamos a verlo nada más hasta el 30.
¿No?
Si lo veo nada más hasta el 30, observan ustedes
que va a pasar con el gráfico de la posición.
O sea, me ofrece una ventana mejor donde sí puedo ver la cuadrícula.
¿No?
Y puedo contar.
Entonces, ahorita. ¿Qué vamos a hacer?
Vamos a contar.
O sea, tengo aquí una notita. Vamos a ponerla por acá.
O sea,
vamos a tomar datos de la posición.
O sea, que podíamos decir cuando el tiempo es
igual a cero, la posición es igual a cero.
Si estarán de acuerdo conmigo, estoy viendo este punto que está aquí.
¿Sí? Donde está ese puntito negro.
¿No?
¿Okay?
Y que la traducción sería en la chica que está you oculta.
¿No?
Que ella está de la posición cero cuando empezamos a ver la camina.
Y es más ahora si se estaba
para determinar la posición cero porque la velocidad inicial es cero.
¿Okay?
Ahora, en el tiempo 1, me voy a ir con los sin enteros aquí porque
es así lo que podemos ver en el tiempo uno, hay un valor de la posición.
Si ustedes observan ahorita el curso que está con la modalidad de la manita.
¿No?
Esa manita está apuntando justamente un valor aquí de uno.
O sea luego se quita la manita
de ahí, pero va al uno aquí. ¿Okay?
O sea, esto me está diciendo que tomo un nuevo dato y diría yo que en t igual a 1.
¿No? La posición x es igual a 1.
¿Okay?
¿Vamos bien? Vamos a tomar otro dato.
En t igual a 2, el tiempo 2 que estamos aquí en el cursor.
¿Sí?
En la gráfica de posición, la posición va a ser este puntito que está aquí.
Ahora, si me muevo así en
el eje vertical voy a llegar a una unidad antes del 5.
¿No?
Entonces, en t igual a 2, podría tomar el dato que la x es igual a 4.
¿Verdad? En el 2, vale 4.
Vámonos adelante en el 3. ¿Cuánto vale?
¿En este 3, si subimos por la vertical, esa vertical va a topar aquí con quién?
Con una unidad antes del 10.
Entonces en t igual a 3 tendríamos que la posición es x igual a 9.
¿No?
En el cuatro, vamos al 4.
Aquí estoy en el 4 del tiempo, voy a pasarlo con ustedes ahorita.
En este tiempo, tengo un valor de la posición que
está marcado aquí y esa posición ahí está la manita.
¿No?
¿Esa posición viene de dónde? Un dato acá que está a
la altura de una unidad después del 15.
Entonces, eso está, me está diciendo que en t igual a 4.
La posición es 16. x es igual a 16.
Después de eso, vámonos al 5.
En el 5, está muy atinado aquí porque es el puntito este negro
que tenemos aquí, este hot spot, que también se viene, pones sobre el 25.
¿Verdad? Entonces, en t igual a
5, vamos a tener que la posición es x igual a 25.
Y así nos vamos en el 6, para eso you tenemos que ver un poquito más para acá.
En el 6, sería, 36, vamos a poner el sticker you se me va pérdida.
Aquí está.
Okay. ¿Qué voy a hacer con el gráfico?
Voy a tratar de hacer la gráfica que lleve un poquito más arriba.
Vamos a
ponerle hasta el 70. Okay.
Y que empiece digamos, sí allí vamos a dejarlo en esa nivel.
Y entonces ahorita que estamos en el 6.
No sé si logren apreciarlo, pero sería una rayita después del 35.
A lo mejor, algunos de ustedes you están ahorita.
¿No?
Viendo lo que estoy obteniendo con esto.
¿No?
Porque puede ser que eso sea de su conocimiento
previo, no anterior. ¿En el 7, cuál va a ser?
En el 7 estará antes del 50 nos va a quedar en t igual a 7 que
la x es igual a 49, un lugar antes de 50.
Y así nos vamos en el 8, ¿que estarían ustedes esperando en el 8?
Pues estarían esperando el 64, vámonos con el 100.
O sea, vamos a verlo con el 100 cuando you llegamos
a aquí al valor 110, digamos para que ustedes perciban.
¿No?
you nada más rápidamente como en el 8, el valor sería 64.
En el 9, el valor va a ser justamente 81 y en el 10, va a ser 100.
O sea, si hacemos esto de la mente,
es algo que ustedes puedan hacer con el software.
Tendríamos una lista como la que estoy acabando
ahorita rápidamente, en el 8 sería 64. Y en el 9,
sería una x igual a 81.
Y finalmente en el 10. ¿Cuánto sería?
Tendríamos una x igual a 100. Y en este momento, los invito
a pensar, piensen en esta lista. Piensen en esta lista que
estuvo sacada de aquí de esta imagen.
Tenemos una expresión numérica o una expresión gráfica.
Y lo que nos está haciendo falta es una expresión algebraica.
¿No?
En este momento, podríamos tomar una imagen para tener
la evidencia de lo que hemos hecho y conminar.
¿No?
Con nuestra presentación aceptando que, vamos a
poner aquí con el, sí con el negro.
¿No? ¿Aceptando qué?
Somos capaces de decir que aquí hay una expresión escondida.
¿No?
Una expresión para x de t, que calculada en uno da uno.
En dos da 4.
En 3 da 9. En 4 da 16.
O sea x de t es igual a t cuadrada.
¿No?
Entonces en el gráfico de la velocidad, teníamos el caso de una
velocidad v de t igual a 2 t.
Y en el gráfico de la posición tenemos una x de t igual a t cuadrada.
¿No? Hemos llegado a precisar ¿okay?
la formula algebraica que correspondería a nuestra chica que
se está moviendo conforme a un movimiento tipo, tipo MUA.
¿No?
Si volvemos a ella en el software. O sea, en este
caso, el movimiento tipo MUA que tuvimos. ¿No?
Lo pudimos ahora de centrar you desde el punto de vista algebraico.
¿Sí?
Y nos quedó esta gráfica que sería desde x de t igual a t cuadrada.
Yo quisiera que en este momento, ¿no?
en este minuto que nos queda, seamos capaces de hacer algo con ella.
Vamos a moverla a otra posición.
Ahí la movía a una posición mayor, mayor a que no se ven
los números.
A ver que tenemos, por ejemplo aquí, tendríamos nuestra chica en la posición.
Pongamos en el 5.
Allí está en el 5. ¿Okay?
Y si empezamos a ver a la chica en el 5, vean a
como al moverla a ella justamente se movió acá en la, la posición.
¿No?
Hacia una posición inicial, el 5.
Cuando la movía ella, no se movió nada el gráfico de la velocidad.
¿Cierto?
Ahorita lo estoy haciendo para que ustedes
vean como estos gráficos son independientes ahorita.
Si la dejo a ella en la posición 5, entonces el
gráfico de la posición se movió hacia la posición 5, la inicial.
La chica se va a mover de la misma manera que se movía antes.
¿No? Hacia a la derecha cada vez más rápido.
Pero si pensáramos en una función
para la posición que estoy viendo ahorita. ¿No?
Para este caso, donde la posición inicial es 5, yo esperaría.
¿Verdad?
¿De ustedes you se puedan imaginar que la gráfica está corresponde
a una x de t igual a qué? Lo están pensando.
Sería 5 más t cuadrada. O sea, al valor inicial que tenía la chica
de 5, le voy a agregar el cambio. ¿No?
Que hay en su posición y que you estuvimos viéndolo
determinante y que es igual a la expresión t cuadrada.
Entonces, nada nos impide ahora decir que cuando la posición inicial
es 5, la, la gráfica de la posición obedece a una representación
algebraica por x de t igual a 5 más t cuadrada.
Pero precisemos sobre estas cuestiones y otras más cuando regresemos en nuestra
siguiente presentación, donde obtendremos una oportunidad
también de inspeccionar esto con otro software.
