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15．多值逻辑和真值度理论
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來自 Peking University 的課程
悖论：思维的魔方
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從本節課中
上帝悖论和连锁悖论
與講師見面
陈波教授
哲学系
同学们好，我们还接着了
上次的，还接着讲这个模糊性连锁悖论 还属于这个大题目之下。
我们现在在我们的日常语言中，有很多模糊的 谓词，含模糊谓词的句子在某种意义上叫模糊语句吧
这些句子呢，小的差别不断累积放大，造成巨大的差别，最后呢，结论
每一步呢都好像可以接受，但最后的结论不可接受。
我们把 它叫做悖论，连锁悖论。
这个呢，问题是怎么处理 连锁悖论呢？怎么处理模糊性问题啊？英文是叫
Vagueness 模糊性问题。
那呢，有 几种办法，今天讲其中的一种
多值逻辑和真值度理论 自 1970
年代以来 模糊性呢逐渐成为哲学、
逻辑学 语言学等学科，交叉研究的一个热点问题 并把当代的许多的主流哲学家
卷入其中，形成了不同的研究进路或理论 主要有，主要有什么呢？一个是精确语言进路
这个什么叫精确语言进路，什么意思？那就是模糊性
是源自于自然语言的不完善
这个自然语言里面呢，还有很多 边界不清晰的模糊谓词
由此造成很多 模糊句子。
这些句子的呢 究竟是真是假，并且也不清晰
因此，因此呢我们要改造自然语言
我们要新造一种人工语言，让那里面的 词，这个每一个词
都边界清晰，意义确定，然后造句规则
造词造句的规则，也是非常得清楚，事先严格定义
因此由此所，由那些初始的词造成的
生成的复合词，以及由那些词生成的句子 那都是边界清晰，条理分明
句子不是真的就是假的，没有任何模糊性，二值原则适用毫无问题
但是问题的麻烦就在于，我前面说过了，就是
我们的日常语言交流 我们的日常语言交流只能使用模糊自然语言
它边界不清晰，含有模糊性
具有弹性，因此它就可以满足我们的各种不同的交流需要 交际，交际需要。
尽管自然语言含有那么多模糊性因素
但是你看我们在我们的日常交流里面，就用这样一种交流，日常语言交流
它没有给我们造成多么巨大的麻烦 我们基本上还是可以成功地交流
同时也由于自然语言的模糊性
还有灵活性，弹性，我们才会有诗歌，才会有文学
才会有文学。
如果每一个
词都那么清楚了，边界那么清楚，也许诗意朦胧，就不存在了
所以呢，实际上，实际上还有另一个问题。
第一 有两个问题吧，第一
这个含有模糊性的自然语言，真的能够被完全取代吗？
这是一个问题，另一个问题，第二个问题是跟着的，我们真的能够
造一门完全清晰的人工语言去满足我们的日常交流需要吗？
这个了，很多很多的人 都对这两个问题打上大大的问号
所以，这精确语言研究呢，精确语言进路在模糊性研究中呢
始终处于边缘地位，边缘地位，人们不太认真地考虑它们
这个模，这个这个精确语言进路的呢，一些代表人物都是一些现代逻辑学家
你比如弗雷格、 罗素、 蒯因 等等。
好，这是这个进路，第二条进路呢就是
多值逻辑或真值度理论
这个它的核心就是这样：含模糊谓词的模糊语句的真值超越真假二分 可以在
0 和 1 区间，这个区间内 取多种真值，如果我们把
0 看做假，把 1 看做真 那，那个那个那个，真和假有程度之分
程度之分，0.9 的真，0.9 的假 等等等等。
这样呢，这个这个这个，取多种真值，这是我们今天要重点讲的
还有一个超赋值理论，我们以后也会讲 那就以后再说吧。
认知主义，这个我们以后也会讲 以后再说。
再语境主义，那就什么呢？就是说 模糊性呢，是随我们的认知语境而变化的
可能抽象地看 那个词含有模糊性，但在一个特别的话语环境中
它的模糊性呢，就被消除了 因此对我们的交流呢，不构成障碍
所以这是语境主义，模糊性是语境敏感的
是这个，还有一个虚无主义 就是，这个就是模糊谓词呢没有精确的外延
包含它们的句子也就没有确定的真值，它们就是没有确定的真值
你不能谈论它的真值，那就不需要谈论，它没有 还有一个就是叫行为上学的模糊性
它说啊，就是我们的认知语言之外的那个世界，本身就是模糊的 存在着模糊的对象。
你比如什么叫一座山呢？ 山的边界在哪里啊？什么是一团云彩啊？
云彩的边界在哪里啊？等等，有些就世界上
模糊性就是一个形而上学的特性，物体本身的离开人的认知而确实存在的东西
这个了，这是形而上学的模糊性，好
根据以下三个问题，我们可以给关于模糊性的 各种理论呢，分组或定性。
那就是第一个问题你比如，我们问 模糊性的根源是源自语言
源自外部世界，还是源自我们的认知本身
源自我们的认知本身，那不同的理论强调的就不同的方面
语义的说明，那就是什么呢？说模糊性呢，源自于我们的语言和概念
源自于我们的语言和概念，是我们语言和概念的问题 那呢，这样的，做这样的说明包括
真值逻辑和真，多值逻辑和真值度理论 超赋值理论、
语境主义，或许还包括虚无主义 认知主义那说什么啊？模糊性既不
源自于我们的语言，也不源自于外部对象 语言和外部对象它们都有清晰的边界
只是由于我们人的认知能力的局限性 我们不知道那界限在哪里。
所以模糊性的根源 在于我们认知，人的认知能力的局限性
这就是形而上学说明嘛，就形而上学模糊性。
它说模糊性的根源就在于 对象本身就是模糊的。
正因为它对象的模糊 性，造成了我们的语言的模糊性，造成了我们认知的模糊性 这是第一个问题。
第二个问题，对经典逻辑特别是二值原则
的态度，保留还是拒斥和修改？保留二值逻辑 还是拒斥二值逻辑，或者修改二值逻辑
坚持保留二值逻辑，经典逻辑，特别是二值原则 的，有认知主义，虚无主义，某些形式的语境主义
坚持拒斥和修改经典逻辑，特别是二值原则的，有多值逻辑
和真值度理论，超赋值理论，某些形式的语境主义，或许还包括 对模糊性的形而上学探究。
第三个问题 它们就是那个模糊性啊，以何种方式导致
连锁悖论的论证，它们以何种方式呢 不是各种模糊性的理论，我们要给它分组定性啊，
要问这些理论以什么样的方式回应导致连锁悖论的论证。
额，这些论证。
连锁悖论，little by little reasoning， 是否有错，如果有错，错在哪里？
那有不同的回答，坚持精确语言进路的研究者，如罗素，
通常会否认该类论证的有效性， 即不承认其结论确实可以从其前提推出。
第二个认知主义，某些超赋值主义者，以及多值逻辑
和真值度理论家往往质疑其中的条件命题或归纳前提的有效性
我们下面会说，关于 模糊性的形而上学探究者接受该论证的有效性，
也承认其所有条件前提或归纳前提的真实性，但 质疑这个呢，第一个前提的真实性，
或者质疑其结论的真实性。
其结论的真实性，你比如，因为它对象 本身是模糊的，你没法说一个对象是3还是不是3，
额，也就没有一个确定的开始，没有一个确定的开始，也没法，对象本身
模糊，你没法说哪个固物的具体是固态的还是不是固态的。
没法确定的说，额，等等。
这个呢，是根据这三个问题可以分组， 这些。
好，这个呢 在关于模糊性的各种理论中，我前面讲了精确语言进路，
额，虚无主义和形而上学理论的拥趸比较少，没有多大影响力，
而其他几种探究呢，都比较有影响。
其中最有影响的或许是认知主义，对它的批评和 辩护都很多，我们呢只讨论三种理论，
多值逻辑和真值度理论，超赋值理论， 认知主义，等等。
这个
这样呢我们就进入下一个，就是，就是进入具体的
多值逻辑和真值度理论，要使多值逻辑在
成为模糊性理论之前多值逻辑就存在了，它三十年代就存在了，
它的起源是波兰逻辑学家卢卡西维奇研究
明天将有海战，这样的问题，明天将有海战这样的句子在今天看来究竟是真的还是假的。
他认为既不真也不假，而是不确定。
因此呢，句子除了真假之外还有第三个值，不确定。
由此发明了一种逻辑叫三值逻辑，所以
多值逻辑在成为模糊性理论之前就存在了，那要是把多值逻辑应用于模糊性理论，
那就是必须把它用于处理自然语言句子的逻辑语义特性，特别是模糊性，
并对由模糊语句导致的连锁悖论给出解决方案。
为了给模糊语句赋值， 很多研究者引入了真假之外的其他真值，
如果是三值逻辑，这个另外的真值是中间的。
如果在实数区间，[0,1]之间取值，0表示确定为假， 1表示确定为真，而像"0.1"、 "0.4"、 "0.8"、
"0.9"这样的值，真值呢， 则表示一个模糊语句为真的程度，叫做真值度，
常用把p写在一对方括号之内， 表示原子模糊语句p的真值度，
这个 min，这个呢 这个一对写在括号内的那样的一个符号，
那个呢就表示取 p 的真值度
和 q 的真值度中间两个值
的较小的那个，max{[p],[q]} 表示取这两个值中间较大的那个。
复合语句的真值度呢， 这个计算，怎么计算呢？依据如下的联结词规则，
那 p∧q 它的真值度是什么呢？
那就是取 p 的真值度和 q 的真值度中
较小的那个，p∨q 就取
p 和 q 的真值度中较大的那个。
非 p 那就是 1 减 p 的真值度，就是非
p 的真值度，p 当且仅当 q 的真值度呢等于什么？1减去
就是 p 和 q 中较大的那个减去
p 和 q 中真值度较小的那个的余下的那个差值，
1减这个差值之后那就是 p 当且仅当的真值度，p
当且仅当的真值度，你看啊， 如果
p 和 q 它的真值度都为 1，1-1得0，
1-0还是1，所以呢 p 当且仅当 q 当
p 和 q 都为 1 的时候它为 1，那你比如，假如
p 的真值度是 0.8，q 的真值度是 0.5。
那 0.8-0.5 就 0.3。
0.3，那 1-0.3那就是0.7，这个
句子的真值度呢，p 当且仅当 q 它的真值度是 0.7。
p → q 的真值度就是什么呢？就是 1-p
的真值度， 再减去 p 和 q 中真值度较小的那个，
较小的那个，额，然后，这个 这个差值，1
减这个差值就是 p→q
的真值度，那举例来说吧，假如 1
为 0.8，它的真值度为 0.8，p 的真值度为0.8，q
的真值度为 0.4， 那呢那呢 p 的真值度减去 p
和 q 中较小的，那就是 q 呗 的真值度，那
0.8-0.4 那就是 0.4，再 1-0.4
那 p→q 的真值度呢就是 0.6， 0.6。
真值度理论呢有不同的形式， 它给出了两条解决连锁悖论的途径，
一是通过对联结词的语义解释，使连锁悖论中的条件前提，归纳前提不成立，
二是通过是肯定前件是失效，使整个论证失效。
就是使连锁悖论那个连锁推理啊失效， 由此消解连锁悖论。
但呢， 这个真值度理论呢
遇到了严重的挑战，主要是你看啊
它现在说你原来啊把命题区分为真的和假的，不够用，
因为有些命题啊还可以取第三个值，还可以取第四个值， 还可以取第五个值，你因为，为什么那对象是模糊的？
秃头还是非秃头，秃头还是非秃头，你没一个清晰的标准嘛。
没有一个清晰的标准，你说，额，576根和577根
究竟两人都算秃头还是都不算秃头还是一个是秃头还是一个不是秃头呢？
你没法去区分，额，这个呢，你只能说
567比783根头发的人更接近秃头。
额，这个呢，好，它因此呢，它不是给
这个呢，区分一刀两断，它不是一刀两断，而是
给它一刀三断，有的时候是一刀三断呢，这个是 一个谓词它的正外延
就那个谓词肯定对它适用的，负外延，那个谓词对它肯定不适用的，在中间情形，界限情形，
好，这个就一刀两，这个呢 这个这个这个这个两刀三断，好，
那问题又来了，你一刀两断没有 清晰的标准，因此不能一刀两断，那你有
清晰的标准去区分这个呢，
两刀三断吗？额， 你原来说秃头和非秃头啊，这个呢
这个这个这个没法区分有一个截然分明的标准， 一边是秃头一边不是秃头，于是你就分成什么呢？
那肯定是秃头啦，或肯定不是秃头啦，还有这个中间情形呢， 就是取秃头和非秃头的交界的地方的，叫
boardline case 就界限情形。
那，那好，那我现在问你
什么是正外延和负外延，正外延和界限情形的
分界的标准在哪里？这个界限情形和负外延的分界标准在哪里？
你一刀两断的标准给不出来 那你两刀三断的标准
更给不出来，那你就更别说了，你那个呢
五刀六断，等等吧，五刀六断，七刀八断
九刀十断，那你划分得越细呢
你实际上要求的区分标准更严
你粗的标准都给不出来，你更细的标准你更给不出来 所以呢，这就是界限的界限
因此，这个我们把它叫做 高阶的模糊性，高阶的模糊性
这是真值度理论，你，你给那个句子赋真的或假的
你的值赋不出来，你不知道它是真的还是假的，那你凭什么标准说
它是0.7，0.9的真
那个是0.2的真，凭什么？ 你 0.2
和 0.9 怎么给出来的？你有确定的标准吗？ 你有确定的标准就意味着什么？你实际上知道那个界限在哪里
界限，哦，它离那个界限呢，还有一点距离 因此呢，它是 0.9。
但你实际上假定有清晰的 界限，那你既然假定有清晰的界限，你还划那么多刀干什么？你不一刀两断算了
高阶模糊性。
所以，这是一严重问题 有一个研究模糊性的牛津哲学家，叫威廉姆森，他写了一本书
就是，他说，对二值逻辑的异议来自如下假定： 不可能把模糊命题分成真的假的。
而二阶 模糊性现象使得同样难以把模糊性分成
假，真的，假的和既不真也不假的。
随着谷粒 堆垒在一起，我们无法找出一个精确点，恰好在这个点上 这时一个谷堆从假的变成真的。
我们同样也不能找出两个精确点，在其中一个点上
该命题从假的变成中性的，在另一个点上，它从中性的变成 真的。
如果两个值不够用，则三个值 四个值、 五个值、 六个值，n
多个值，也不够用 这是高阶模糊性。
这样呢，好 界限的界限，你一刀两断的界限
标准没有，你三、 两刀三断的标准更没有
界限的界限，这个呢划不出来 那还有一个问题，你不是要给句子赋真值吗？
你有些赋 1，他确定无疑地是 秃头，有些赋
0，他确定无疑地不是秃头 还有一些呢，赋 0.8、
0.9 0.1、 0.2、 0.3、 0.4
等等，你根据什么标准来赋？比如说，如果张三有 97 根头发
赵四有 99 根头发，则张三呢比李四更接近于 秃头，因此我们应该给"张三是秃头"指派
比"李四是秃头"稍高一点的真值度 但问题在于，我们分别，应该分别给两个句子
指派什么样的真值度？指派多少？指派多少？根据什么标准？
你说，你指派呢，他的真值度啊，是
0.1 你因为什么呢，他离秃头呢
的标准呢，这个比较近，比较近 那实际上在你这样的指派的时候，你脑袋里已经
有一个清晰的标准了，谁是秃头，谁不是秃头，但是就不是模糊了 那你，你再在指派真值呢，你就
就就就，就就不成立了，他就，按你这个标准他就不算秃头嘛，或者他就确定无疑算秃头嘛
这个呢，所以呢，实际上 你这个原值模糊句的真值度的指派问题
如果你要指派确定值，你实际上你意味着你隐含着已经知道
那个清晰的分界在哪里了，那时候你就不需要这样指派模糊 度了、 真值度了。
还有一个派生问题，什么叫真值度？ 真还有程，程度之分吗？
亚里士多德说，说是者为非，说非者为是，是假的；
而说是者为是，非者为非，是真的 你说，那个事情本来是这样，你说它不是这样，不是这样，你说它是这样
这是假的，你说它是这样的，就说它是这样，不是这样的就不是这样 那就是真的。
好 弗雷格说了，一个德国的这个哲学家、
逻辑学家、 数学家，我们可以发现两个对象是美的，但其中另一个比，其中一个比另一个更美
相反，如果两个思想是真的，其中一个不会比
另一个更真，他说，美可以分出程度，但真没有程度之分 真的就是真的，假的就是假的，不会是
0.5 真，0.6 真，0.7 真，0.8 真，0.9
真，没有 这个说法呢，没有，这个真的就是真的，假的就是假的 这个这个这个不可能有程度之分
这个呢，还有一个问题 还有一个派生的问题。
当我们把真值度理论 根据真值度理论呢，把一个谓词的外延呢分成正外延、
负外延、 界限情形的时候，假设李娜处于"美丽"的界限情形 我们会说，"李娜这个是美丽的"
它既不真也不假，这个句子既不真也不假 由此我们再后退一步，退回到元元语言层次
我们会说，"'李娜是美丽的'这个句子既不真也不假"
这个说法是真的，因为实际情况真像它所说的那样
这意味着，在真值度的元理论层次上，我们又退回到二值原则
任一语句是真的或者是假的，若它，若它所说 属实是真的，否则就是假的。
真值度理论 以在对象理论层次上拒斥二值原则开始 难道它要以在元语言层次上恢复二值原则结束吗？
那就是，二值原则在某种意义上还是不可动摇的，你尽管在这一项理论层次上
取消二值原则，但是你在你的元语言层次上，在你的
背景理论假定上，二值原则仍然还站立在那里 坚如磐石。
还有，复合 模糊句的真值度的计算问题。
前面给出的联结词规则会导致许多问题 假如 p
是一个描述界限情形的句子 既不全真也不全假，它处于正中间，那就取正
这个中间值，那呢，那 p 取 0.5
非 p 等于 1 减 0.5，还是 0.5 于是呢，p
析取非 p 取这个两个 0.5 中最大的那个，那就是
0.5 那就是说 p 析取非 p，或者 p 合取非
p，排中律 经典重言式，这就不是真的
它只是 0.5 为真，经典矛盾式
p 并且非 p，一个逻辑矛盾 它不会全是假的，p
取 0.5，非 p 取 0.5 这个 p 并且非
p 呢，取这两个 0.5 中最小的那个，还是
0.5 这个呢，然后，这个呢
它不全假，逻辑矛盾不全假，逻辑真理不全真
更离奇的是，经典重言式，p 并非
p 当且仅当非 p，p 当且仅当非 p 它 p 取
1，那非 p 就取 0，1 等于 0 那就等于，1
等于 当且仅当 0，它等于 0，所以它总为 0，括号里边。
那否定的逆运算，0 的否定逆运算是 1 所以它总是取 1，总是取 1。
但是 你像啊，当 p 处于界限情形的时候，p 取 0.5 非 p 也取
0.5，0.5 等于 0.5，那是真的
你再否定，否定当然呢 那它就 1 减去 1，就等于
0，它是纯假的 这个呢，这太反直观了
按照真值度理论，这个经典重言式 取 0.5
的真值，经典矛盾式取 0.5 的真值，经典重言式
甚至呢，就并非 p 当且仅当非 p
它取 0，这是非常反直观的。
所以呢 真值度理论，这个多值逻辑和真值度理论呢，也面临很多的问题
这个在处理模糊语句的时候。
好，这一讲就到这里
