Это стандартный курс линейной алгебры, содержащий все необходимые для статистики и многомерного анализа приложения и алгоритмы, но не всегда содержащий подробные доказательства. Данный курс пригодится вам для того, чтобы изучить азы линейной алгебры и ознакомиться с базовыми определениями, понятиями и алгоритмами, научиться решать задачи, в которых необходим данный инструментарий. Многие пространственные задачи требуют знания линейной алгебры, а так же ряд задач экономики находит более простое решение, если владеть механизмами решения таких задач; эта наука находит себе применение во всех направлениях математики и ее приложениях, которые только можно представить. После прохождения данного курса вы научитесь корректно использовать понятия вектора, базиса, линейного пространства и линейной зависимости, оператора и матрицы, а так же овладеете несложными инструментами для решения и анализа задач линейной алгебры, научитесь оперировать матрицами и находить максимально подходящие условия для поиска ответа; ознакомитесь с классическими теоремами и узнаете красивые задачи данной науки, а также научитесь проверять свои решения на корректность, а результаты на адекватность, а еще мы обсудим теорему Перрона-Фробениуса и ее приложение к индексированию страниц в интернете. Внимательно смотрите лекции и вовремя выполняйте все необходимые задания. Удачи!
7.5. Собственный базис
Loading...
來自 National Research University Higher School of Economics 的課程
Линейная алгебра (Linear Algebra)
135 個評分
從本節課中
Собственные вектора и значения линейного оператора
На этой неделе вы узнаете, что такое собственный вектор, собственное значение, и кому они принадлежат. А ещё - почему они так полезны в нашей науке.
與講師見面
Irina KhovanskayaSenior Research Fellow, Lecturer
International Laboratory for Institutional Analysis of Economic Reforms
[ЗАСТАВКА] Как искать
собственный базис линейного оператора?
Во-первых, нужно составить уравнение: определитель (A − λE) = 0.
Смотрите, что это за уравнение.
Матрица A нам дана, неизвестной здесь является число λ.
Мы составили уравнение на число λ, и давайте решим это уравнение.
Кстати, я хочу сказать, что если матрица большая, то такое уравнение можно
запросто и не решить — может быть, у него есть решения, а мы не можем их найти.
Уравнение второй степени мы хорошо умеем решать, уравнение третьей степени мы умеем
решать, но, честно говоря, плохо, уравнение четвертой степени — еще хуже,
а уравнение пятой степени уже может не выражаться в радикалах.
Но тем не менее, если мы знаем решение этого уравнения,
мы нашли собственные значения оператора A.
Что теперь нужно сделать?
Для каждого собственного значения нужно найти собственные векторы,
нужно найти такие векторы,
что при действии оператора A − λE вектор v переходит в 0.
Для каждого λ мы будем искать свои векторы.
Если повезет, для всех λ мы найдем n разных векторов совпадающих,
где n будет совпадать с размерностью пространства, и получим,
если повезет, базис линейного пространства L.
Этот базис окажется собственным базисом.
Что значит, если повезет?
Мы говорим: если повезет, мы найдем собственный базис.
Этот собственный базис, он все-таки всегда бывает или не всегда?
Легко найти примеры, когда собственного базиса не существует.
В начале лекции мы обсуждаем с вами поворот плоскости на 90°,
поворот плоскости на 60°.
Очевидно, что при этом никакой вектор при повороте плоскости на 90° или на 60°,
никакой вектор, образ никакого вектора не будет пропорционален самому вектору.
Вектор повернется на некоторый угол — не 180°,
не 360° — значит, образ вектора, и сам вектор никак
не могут быть пропорциональны, никак не могут лежать на одной прямой.
Мы только что сказали, что они не лежат на одной прямой, не лежат на одной прямой.
Именно так мы строили образ вектора.
Хорошо.
А давайте попробуем все-таки запустить алгоритм поиска собственного
базиса и посмотрим, что происходит, ну, когда ломается работа этого алгоритма.
Давайте сделаем...
разберем этот самый простой случай, когда мы поворачиваем плоскость на 90°.
Для поворота плоскости на 90° мы уже выписали матрицу,
и теперь попробуем найти собственные значения этой матрицы.
Итак, мы составили уравнение det (A − λE) = 0,
и мы получаем уравнение λ квадрат + 1 = 0.
Да, это уравнение не имеет корней в вещественной области,
значит, у нас нет никаких шансов найти такой вектор, который,
при действии этого оператора, умножается на число λ.
Такого числа не существует — квадрат любого вещественного числа
всегда положительный, ну, по крайней мере, не отрицательный.
λ квадрат + 1 всегда больше 0, и 0 никак не получится.
Однако мы обсуждали комплексные числа, и мы знаем,
что в комплексной области такое уравнение решается.
У такого уравнения,
как у любого другого квадратного уравнения в комплексной области, будет два корня.
Давайте решим это уравнение в комплексной области, посмотрим, что мы получим.
Ну хорошо, уравнение решается, и мы получили некоторые два числа.
Когда мы начинали говорить про линейные пространства, мы говорили,
что мы начинаем говорить про линейные пространства,
рассматривая линейные пространства над полем вещественных чисел.
Но иногда удобно рассматривать линейные пространства над полем комплексных чисел.
Вот сейчас наступил тот самый случай.
Смотрите, что получается, если мы рассматриваем линейное пространство
не над полем вещественных, а над полем комплексных чисел.
В комплексных числах квадратное уравнение обязательно будет иметь решение.
Редко-редко, в исключительном случае, когда дискриминант
будет равен 0, два решения этого уравнения будут совпадать, и мы действительно
получим более сложный случай, требующий более детального рассмотрения.
Но, вообще говоря, как говорят математики,
в случае общего положения мы получим два разных решения квадратного уравнения.
Мы получим два разных решения квадратного уравнения, значит,
мы получим два разных собственных вектора.
Мы получим два разных собственных вектора — это значит,
что мы найдем собственный базис для этого оператора,
если только мы рассматриваем пространство над полем комплексных чисел.
Вот вектор,
соответствующий другому собственному значению — мы нашли собственный базис.
Смотрите, как интересно получается.
Мы нашли собственный базис для действия линейного оператора, на самом деле,
в другом пространстве, мы рассматриваем другое пространство.
В нашем пространстве теперь можно умножать не только на вещественные,
но и на комплексные числа.
Однако даже из того, что мы нашли собственный базис в другом пространстве,
мы можем что-то полезное извлечь из действия линейного оператора в
вещественном пространстве, в линейном пространстве над полем вещественных чисел.
Обсуждая и обдумывая, как устроено линейное отображение, мы, на самом деле,
доказали некоторую теорему про матрицы, просто про квадратные матрицы.
Итак, пусть A — матрица размера n × n — такова,
что уравнение определитель (A − λE) = 0 имеет n различных корней.
Это именно уравнение относительно λ — λ здесь не дано, и такое уравнение
пусть имеет n различных корней, мы рассматриваем только такие матрицы A.
Тогда найдется матрица C, такая что матрица
C в −1 AC будет диагональной, и, более того,
на диагонали в этой матрице будут написаны корни того самого уравнения,
которое мы рассматривали — определитель (A − λE) = 0.
Еще раз: если матрица A такова, что это уравнение имеет n различных корней,
значит, обязательно найдется матрица C, такая что матрица C в −1 AC — диагональна.
Я хочу сказать, что, раз мы рассматриваем матрицу C в −1, значит,
матрица C должна быть невырожденная — определитель матрицы C никак не равен 0,
найдется матрица C с определителем, не равным 0.
Почему верна эта теорема?
Действительно, мы можем рассмотреть матрицу A — сейчас у нас была просто
матрица — давайте рассмотрим ее как матрицу линейного оператора.
Если матрица A — такая матрица линейного оператора,
что уравнение определитель (A − λE) имеет n различных решений, значит,
найдется n различных собственных векторов у оператора, заданного этой матрицей.
И мы можем рассмотреть собственный базис и записать матрицу A в собственном базисе.
Переходя от стандартного базиса к собственному базису,
мы получим запись матрицы A в другом базисе,
а именно мы получим диагональную матрицу.
Таким образом, теорема доказана.
Как искать матрицу перехода от собственного
базиса к стандартному, а от стандартного к собственному?
Нужно выписать координаты собственных векторов в стандартном базисе.
Для того чтобы найти обратную матрицу,
нужно просто к этой матрице найти матрицу C в −1.
Смотрите, звучит все...
этот алгоритм звучит несколько загадочно, но если его мы проведем прямо,
выполним для той матрицы, которую мы уже обсуждали, то мы,
действительно, перемножая три матрицы, найдем диагональную матрицу.
Итак, на сегодняшней лекции мы научились записывать
линейное отображение в базисе, в координатах, при помощи матрицы.
Мы научились записывать при помощи матрицы линейный оператор,
то есть линейное отображение из пространства L в пространство L.
Мы научились переходить к другому базису в записи линейного отображения и в
записи линейного оператора.
И для большого класса линейных отображений мы научились находить собственный базис,
мы научились находить такой базис, в котором это линейное отображение,
этот линейный оператор особенно просто выглядит.
[ЗАСТАВКА] [ЗАСТАВКА]
