[ЗАСТАВКА] Ну хорошо, как решать такую задачу? Нам действительно, для того чтобы найти параметры a и b, нужно найти производную вот этой сложной выписанной функции по a и b. Как только мы начнем ее дифференцировать по каждому из параметров, мы увидим, что эта функция не такая сложная, как нам казалось на первый взгляд. Смотрите, у нас суммы слагаемых, каждое слагаемое содержит всего лишь вторую степень. Продифференцировать это выражение по a и по b совсем несложно. Давайте сначала посмотрим на второе уравнение. Из второго уравнения мы найдем параметр b. Для того чтобы найти... ну мы просто находим параметр b и решаем линейное уравнение, немножко переписываем суммы, перегруппировываем слагаемые. Разбиваем одну сумму на несколько маленьких сумм. После этого у нас возникает выражение: сумма xi-тых / n и сумма yi-тых / n. Смотрите, что такое сумма xi-тых / n? Это всего лишь среднее арифметическое данных переменной x. Что такое сумма yi-тых / n? Это среднее арифметическое данных переменной y. Так мы их обозначим: сумма xi-тое / n будет у нас обозначено как x среднее и сумма yi-тых / n будет у нас обозначено как y среднее. Посмотрите, какое хорошее получилось условие для параметра b! Ну, оно связывает, конечно, параметры a и b, но условие получилось такое: что если мы возьмем среднее значение x и среднее значение y (если посмотреть на эту задачу физически, то можно говорить о центре тяжести для данных по x и для данных по y), то средние значения будут лежать на прямой ax + b. Точка x среднее y среднее должна удовлетворять тому линейному соотношению, которое мы ищем, ax среднее + b = y среднее. Мы получили эти данные просто решая уравнение, однако решение получилось красивым и естественным. Итак, смотрите, какой получился симпатичный ответ. Что такое сумма xi-тое / n? Это просто среднее арифметическое по всем данным i-тое. Что такое сумма yi-тое / n? Это просто среднее по всем данным yi-тое. Что у нас получается? Какое соотношение между параметрами a и b получается в результате решения второго уравнения? Мы видим, что точка x среднее y среднее должна лежать на этой прямой, которую мы ищем. ax среднее + b должно равняться y среднее. Или, по-другому, если кому-то нравятся физические аналогии, можно сказать, что центры масс x и y должны удовлетворять этому соотношению. Мы нашли это соотношение, просто решая уравнение, дифференцируя, решая уравнение, однако ответ получился очень естественным и красивым. Теперь займемся вторым уравнением. Снова нам придется выписать в явном виде производную — это не сложно, после этого нам придется раскрыть скобки и разбить сумму на несколько сумм, каждое слагаемое просуммировать отдельно по индексу i. После этого мы воспользуемся выражением для b. Мы же уже нашли выражение для b, решая второе уравнение, мы подставим выражение для b сюда, мы помним, что выражение для b использует новые обозначение: x среднее, y среднее. Это не какие-то новые данные. Это просто некоторые данные, полученные из данных xn-ое, yn-ое — среднее арифметическое этих данных. Это какая-то константа, которая нам дана, и мы используем ее в этом уравнении. Собирая вместе члены с a, и деля уравнение на n, мы получим вот такое выражение. Смотрите, опять явно присутствуют некоторые средние. Решаем уравнение, выражаем a через все данные, которые у нас есть, получаем такое выражение. Давайте введем еще одни обозначения. Мы видели, что там есть что-то похожее на среднее, давайте обозначим xi-тое в квадрате среднее как средний квадрат значений xi-того. И xi-тое yi-тое среднее как... обозначим как среднее произведение xy. Посмотрите, чтобы не было путаницы, давайте внимательно посмотрим на выражение xy среднее. Мы берем только среднее произведение xi * yi. Мы берем x, соответствующее ему y и рассматриваем их произведение. Не надо брать все возможные произведения xi * yj, — нас они не интересуют. Нас интересует только произведение xi * yi. Таких произведений будет ровно n. И среднее будет xiyi / n. Итак, мы ввели еще новое обозначение, естественное обозначение — обозначили xy среднее, среднее значение произведения xi * yi и xi в квадрате среднее — это просто средний квадрат переменной x из данных. Теперь мы получаем полное решение задачи, которую мы поставили в самом начале. Мы выразили параметр a и параметр b через данные xi и yi. Что мы при этом использовали? Из данных xi и yi нам нужны были средние этих данных, средние квадраты только одной переменной xi и среднее произведение xiyi. Через все эти данные мы выразили параметры a и b. Кстати говоря, если мы говорим о статистических данных, то у вот этих выражений — средний квадрат, среднее произведение, вернее... разность среднего квадрата и среднего произведения — есть и дополнительное статистическое значение: и у числителя этого выражения и у знаменателя здесь присутствует ковариация данных, здесь присутствует дисперсия данных, но это знать необязательно для того, чтобы решать такую систему. Такие выражения без всякой ковариации дисперсии тоже очень даже осмысленны. Давайте посмотрим на такой пример. Вот у нас есть данные, мы видим, что здесь нет никакой настоящей линейной зависимости, что y не равно ax + b ни для каких a и b. Однако мы хотим найти прямую y = ax + b, которая среди всех прямых самым лучшим образом представляет вот эти данные. Мы выписываем систему, решаем ее и получаем ответ: параметры a и b. [ЗАСТАВКА]