[ЗАСТАВКА] Если,
исходя из одной и той же квадратичной формы,
мы могли получать разные ответы, есть ли что-то общее у всех этих ответов?
Ведь мы говорим, что, если мы приводим квадратичную форму к сумме квадратов,
это выражение (сумма квадратов, получившаяся в других координатах) хорошо
описывает поведение вот этой конкретной исходной квадратичной формы.
Если мы таким образом можем получить любую сумму квадратов,
то в чем будет состоять информация, которую мы получили?
Тогда информация будет нулевая.
Нет, действительно, все, что мы можем получить из данной конкретной квадратичной
формы, заменяя координаты, все суммы квадратов с коэффициентами, которые мы
можем получить из этой квадратичной формы, будут в чем-то очень похожи.
А именно вот в чем: количество квадратов коэффициентов с положительным...
количество квадратов координат с положительными коэффициентами всегда
будет одно и то же во всех разных координатах.
Как бы мы ни пришли к ответу, какие бы ответы мы ни получили, коэффициенты могут
быть разные, но количество положительных коэффициентов будет одно и то же.
Количество отрицательных коэффициентов тоже будет одно и то же.
Смотрите, минус перед знаком, минус перед квадратом не исчезнет,
если мы внесем какой-то коэффициент в скобку.
Если мы вносим минус в квадрат, вместе получится минус на минус получится плюс,
и минус перед квадратом никуда не исчезнет, от него невозможно избавиться.
Некоторые координаты, когда мы выносим что-то, когда мы делаем замену координат
и находим полные квадраты, некоторые коэффициенты могут просто исчезнуть,
некоторые координаты могут просто исчезнуть, например,
если у нас была квадратичная форма x1 в квадрате + 2x1 x2 + x2 в квадрате,
когда мы найдем полный квадрат, мы увидим, что это x1 + x2 в квадрате — и всё.
Если мы рассмотрим квадратичную форму x1 в квадрате + 2x1x2 + x2 в квадрате.
Давайте выделим полный квадрат.
Получается x1 + x2 в квадрате.
Всё, больше ничего не осталось.
Не осталось никаких коэффициентов.
Значит, фактически квадратичная форма зависит только от одной координаты.
Можно так ввести координаты, что значение квадратичной формы будет зависеть только
от этой координаты — x1 + x2.
А другую координату можно вводить, вообще говоря, как угодно,
лишь бы она с первой не совпала, и от нее квадратичная форма уже зависеть не будет.
Мы видели, что именно это и важно.
Есть ли квадраты с положительными коэффициентами,
есть ли квадраты с отрицательными коэффициентами, есть ли квадраты...
есть ли какие-то квадраты переменных, которые на самом деле...
при которых коэффициент ноль, и значит квадратичная форма вырождена — именно это
важно для поведения квадратичной формы около точки ноль.
Именно вот эта тройка чисел A, B, C, количество коэффициентов...
количество квадратов координат с положительными коэффициентами, количество
квадратов координат с отрицательными коэффициентами и количество квадратов
координат с нулевым коэффициентом называется сигнатурой квадратичной формы.
Сигнатура квадратичной формы не зависит от того,
как мы приводили квадратичную форму к сумме квадратов.
Это вещь, которую математики называют инвариантом.
Как бы мы ни привели квадратичную форму к сумме квадратов,
какие бы коэффициенты бы...
на какие бы коэффициенты ни умножали координаты, какие бы замены координат ни
делали, если получилась сумма квадратов, значит сигнатура будет такой.
Мы видим, что если привести двумя разными способами квадратичную форму к виду суммы
квадратов, получились разные коэффициенты, но именно количество,
а именно числа A, B и C в обоих случаях совпадают.
Квадратичная форма, у которой нет...
если ее привести к сумме квадратов и в результате получится...
не получится никаких квадратов координат с отрицательным или с...
и с нулевым коэффициентом,
такая квадратичная форма называется положительно определенной.
В этом названии нет никакой загадочности.
Она называется положительно определённой, потому что значение ее в нулевом векторе
будет положительным и будет нулевым только в том случае, если этот вектор нулевой.
Если привести квадратичную форму к виду суммы квадратов и в результате получатся
только квадраты с отрицательными коэффициентами,
никаких квадратов с положительными коэффициентами и никаких квадратов
координат с нулевым коэффициентом не будет, такая форма...
квадратичная форма называется отрицательно определенной.
И это, опять же, неудивительно.
Действительно, значение ее на любом векторе отрицательно и будет нулевое
значение только в одном случае,
если мы рассматриваем значение этой квадратичной формы на нулевом векторе.
Опять же, вот эта форма является отрицательно определенной.
Точно так же, как в случае с положительно определенной формой,
пока мы не привели форму к виду суммы квадратов, пока форма не приведена, у нее,
конечно, могут быть положительные коэффициенты.
Речь идет только о том, какие коэффициенты будут, когда мы привели квадратичную
форму к виду суммы квадратов.
[МУЗЫКА]