[ЗАСТАВКА] Мы
говорили, что
в векторном пространстве векторы мы не только складываем, но и умножаем на число.
Два вектора можно сложить по правилу параллелограмма,
а можно умножить на число.
Давайте посмотрим, чего мы хотим.
Как происходит умножение на число в векторном пространстве,
двумерном или трехмерном, и чего бы нам, какие из этих свойств нам бы хотелось
иметь в общем определении линейного пространства.
Что нам важно знать про умножение на число.
Ну во-первых, если мы умножим вектор на число, опять получится вектор.
Умножение на число не должно вывести нас из...
за пределы линейного пространства, такого произойти не должно.
Во-вторых, умножение на 1 не меняет вектор.
1 * l = l.
Это выглядит почти тавтологическим правилом, но мы же хотим ввести
формальное понятие линейного пространства, значит, мы именно это правило постулируем.
Я хочу обратить ваше внимание на то, что мы не постулируем правило 0 * 0 = 0.
Пользуясь теми свойствами, которые мы сейчас введем,
и свойствами сложения, мы это свойство докажем.
Оно нам не нужно, как правило.
Это будет свойство линейного пространства, следующее из его определения.
Что еще нужно от умножения?
Умножение должно быть ассоциативно.
Все равно, умножить вектор l на произведение чисел ab,
ab * l или умножить на число a вектор bl.
Это свойство называется ассоциативностью, мы аналогичное свойство встречали,
когда обсуждали группу по сложению, и это свойство ассоциативности нам нужно.
Свойство ассоциативности — очень важное свойство,
без него линейное пространство не получится.
Кроме того, особенно нам важна связь между сложением векторов и
умножением векторов на число.
Такое...
Эта связь называется дистрибутивностью, свойством дистрибутивности.
Это то же самое, что сочетательный закон, который мы когда-то проходили в школе.
Если мы умножим число на сумму векторов, a * (l + m) = al + am.
Это свойство мы тоже вводим законодательно, по определению.
В линейном пространстве всегда так.
Если это не так, то тот объект, который мы рассматриваем — не линейное пространство.
Кроме того, нам нужна такая дистрибутивность: если мы умножим (a + b),
сумму двух чисел, на вектор l, мы получим сумму двух векторов: al + bl.
Это второе свойство дистрибутивности.
У нас есть одна дистрибутивность относительно сложения векторов
и другая дистрибутивность относительно сложения чисел.
Это две разные вещи.
Мы умеем складывать числа, ну просто складывать числа,
и умеем складывать векторы.
И то, и другое нужно связать с умножением числа...
вектора на число.
Мы все время обсуждаем умножение вектора на число.
Какое такое число?
О каких числах мы говорим?
Когда мы имеем дело с векторным двумерным или
трехмерным пространством, мы говорим про действительные числа.
Действительные числа, среди которых есть целые, рациональные,
иррациональные, 0, числа \pi, e.
Все эти числа являются действительными.
И сейчас мы рассматриваем определение линейного пространства,
в котором векторы можно умножать на действительное число.
Не только на целые числа, не только на рациональные числа,
не только на иррациональные числа, а именно на все действительные числа.
Нам нужно именно такое умножение вектора, именно на такое число.
Вообще говоря,
в линейной алгебре можно рассматривать разные линейные пространства.
Можно умножать векторы на разные числа.
Даже в рамках нашего курса нам понадобится более широкое понятие числа,
мы будем обсуждать комплексные числа.
Комплексные числа — это такое замечательное множество,
в котором можно извлечь квадратный корень из −1,
в котором синус бывает больше 1 и даже больше 100.
Мы введем аккуратно понятие комплексного числа и пока что мы его не рассматриваем.
Но когда мы будем, когда мы введем понятие комплексного числа,
мы будем говорить о линейном пространстве над полем комплексных чисел.
А сейчас, пока мы не ввели комплексные числа,
мы будем говорить о линейных пространствах над полем действительных чисел.
Существуют линейные пространства и над другими полями.
Это очень интересная вещь и иногда сложная, иногда простая,
но в этом курсе мы не будем касаться линейных пространств над другими полями.
Ограничивает ли нас умножение на число?
Может быть, любая группа по сложению является линейным пространством?
Ну, мы уже рассмотрели достаточно примеров, чтобы понять, что это не так.
Например, множество целых чисел является группой по сложению,
но совершенно невозможно умножить на целое число,
на число e и опять получить целое число или на корень из 2.
Умножение на действительное число выводит нас за рамки множества целых чисел.
Точно также мы можем рассмотреть другие примеры.
Скажем, если мы посмотрим на функции с целочисленными значениями,
они тоже образуют группу по сложению, но если мы будем умножать такие функции
на дробные числа, совершенно необязательно значения функции останутся целыми.
Точно также, если мы рассмотрим в векторном пространстве векторы с
целочисленными координатами, их можно складывать,
и опять получатся векторы с целочисленными координатами.
Но если мы умножим такой вектор с целочисленными координатами
на любое число, может быть,
иррациональное, совершенно необязательно мы получим целочисленный вектор.
Нет, обычно мы получим не целочисленный вектор.
Поэтому умножение на число — действительно существенная
вещь в понятии линейного пространства.
Для нас важно, что любой вектор можно умножать на число,
чтобы умножение на число подчинялось тем правилам,
которые мы обсудили, это входит в определение линейного пространства.
Итак, на самом деле мы уже ввели понятие линейного пространства.
Что такое линейное пространство?
Во-первых, линейное пространство является группой по сложению, векторы
линейного пространства можно складывать, и они образуют группу по сложению.
Во-вторых, векторы линейного пространства можно умножать на действительные числа.
Умножение вектора на число обладает свойствами ассоциативности и
дистрибутивности, которые мы обсудили, и умножив вектор на 1,
мы этот вектор не изменим.
Какие есть примеры линейных пространств?
Особенно, конечно, интересно посмотреть на примеры линейных пространств,
которые мы не видели среди примеров группы по сложению.
Ну во-первых, конечно,
является линейным пространством само множество действительных чисел.
Действительные числа можно складывать, можно умножать на число,
все правила при этом выполняются, конечно, потому что это обычные числа,
с которыми мы привыкли работать в жизни.
Множество действительных чисел является простым линейным пространством.
Множество двумерное и трехмерное векторное пространство,
является ли линейным пространством?
Разумеется, является.
Мы же объявили линейным пространством то множество, которое обладает теми
свойствами, которые присущи двумерному и трехмерному векторному пространству.
Для нас это был главный пример, и да, то, что мы получили,
будет линейным пространством.
То есть двумерное и трехмерное векторное пространство является линейным
пространством.
Есть и более сложные примеры линейных пространств.
Такие примеры, как, например, множество непрерывных функций,
множество вообще всех функций на каком-то множестве, множество многочленов,
степень которого не превышает 3, в отличие от множества многочленов 3 степени.
Множество функций, обращающихся в 0 в какой-то конкретной точке, в точке x0.
Множество таких функций является линейным пространством.
Является линейным пространством множество функций, которое удовлетворяет
какому-нибудь хитрому соотношению, например, такому соотношению,
что производная функции в 3 раза больше самой функции в любой точке.
Это сложное соотношение, однако функции, которые удовлетворяют этому
сложному свойству, являются линейным пространством.
Что для нас здесь интересно?
Когда мы приводим примеры линейных пространств,
мы говорим о достаточно сложных объектах.
Сложно представить себе множество всех функций на отрезке [0,1],
всех непрерывных функций.
Это сложное множество, оно бесконечномерное, в нем сложно
ввести какую-то хорошую структуру, однако оно является линейным пространством,
и уже исходя из этого все свойства линейного пространства выполняются и для
этого сложного множества.
Мы при помощи понятия линейного пространства...
Мы для того его и ввели, чтобы получить некоторый инструмент, чтобы на сложные
формальные математические объекты получить некоторую простую точку зрения,
получать результаты при помощи простых манипуляций, таких, линейных,
свойственных линейному пространству.
[ЗАСТАВКА] [ЗАСТАВКА]
[ЗАСТАВКА]
