[MÚSICA] [MÚSICA] Continuamos con el curso de álgebra básica. Dentro del tema de factorización tenemos ahora un método conocido como factorización por agrupamiento. Este método es útil para cuando el coeficiente del término de grado 2 no es un factor de los coeficientes restantes. Vamos a ilustrar mediante un ejemplo, el ejemplo dice hay que factorizar el trinomio 3x cuadrada + 29x + 40. Lo primero que observamos es que el coeficiente de x cuadrada es 3 que no es factor de 29 ni de 40. Entonces vamos a proceder de la siguiente manera, tenemos 3x cuadrada + 29x + 40. Que puede escribirse como 3x cuadrada + 24 + 5 que multiplica a x + 40. Observa que lo único que hicimos fue escribir 29 como 24+5. Y esto es 3x cuadrada + 24x + 5x + 40. Observamos que los primeros 2 términos tienen a 3x como factor común entonces escribimos 3x que multiplica a x + 8. Y los últimos 2 términos tienen a 5 como factor común entonces tenemos + 5 que multiplica a x + 8. Ahora los dos sumandos que tenemos tienen a x+8 como factor común, entonces escribimos 3x + 5 que multiplica a x + 8. El método que acabamos de usar en el ejemplo se conoce como factorización por agrupamiento y está basado en la propiedad distributiva que dice a que multiplica a b+c es igual a ab + ac. Recuerda que a, b y c pueden ser números o expresiones algebraicas. La propiedad distributiva justifica el procedimiento que usamos en el ejemplo, sin embargo parecería artificial porque no sabemos por qué decidimos escribir 29 como 24 + 5 o de alguna otra manera. Vamos a ver que en realidad el procedimiento no depende de nuestra habilidad. En general, si el polinomio que queremos factorizar es ax cuadrada + bx + c entonces usamos el siguiente procedimiento. Buscamos 2 números cuyo producto sea igual a ac y cuya suma sea igual a b, dicho de otro modo queremos encontrar p y q tales que p y q sea igual a ac y p + q sea igual a b. Tenemos ax cuadrada + bx + c que se puede escribir como ax cuadrada + p + q que multiplica a x + c, y esto es igual a ax cuadrada + px + qx + c. Ahora como sabemos que p por q debe ser igual a ac entonces tenemos que a es igual a p por q entre c, de donde ax cuadrada + bx + c se escribe como p por q entre c que multiplica a x cuadrada + px + qx + c. Y ahora vamos a factorizar p por x entre c de los primeros dos sumandos, obteniendo que esto multiplica a qx + c + qx + c. Y ahora observa que tenemos qx + c que multiplica a px entre c y además tenemos un qx + c, de manera que ahora podemos factorizar escribiendo px entre c + 1 que multiplica a qx + c. Observa que esto no se cumpliría si c es igual a 0, pero en ese caso tendríamos lo siguiente. Con c igual a 0, lo que tendríamos es ax cuadrada + bx en cuyo caso se factoriza fácilmente como x por ax + b. Entonces podemos considerar c distinto de 0 y la factorización que obtuvimos es válida. Ahora repite el ejemplo anterior siguiendo los pasos detallados en este procedimiento. Compara el procedimiento con el que obtuvimos para el caso en el que a es igual a 1, vas a ver que coincide con aquél. Cuando buscábamos 2 números que multiplicados fueran iguales al término independiente y cuya suma fuera igual al coeficiente del término de primer grado. Vamos a continuar. Ahora queremos pensar en el máximo común divisor de dos números enteros. Esto es porque hasta aquí solamente hemos visto factorizaciones de polinomios con una variable, la factorización no es solamente para ellos, puede hacerse cuando hay más variables, vamos a verla. Primero vamos a recordar el concepto de máximo común divisor de dos números. Aquí tenemos un ejemplo, queremos encontrar el máximo común divisor de 500 y 1400. Vamos a resolver. Queremos encontrar el número entero más grande que sea divisor de ambos, una manera de encontrarlo es descomponiendo los números en sus factores primos. Recuerda aquí quiénes son los números primos. Los números primos son aquellos que solamente son divisibles entre sí mismos y la unidad. El 1 no es primo. Observamos aquí que 500 es igual a 2 al cuadrado por 5 al cubo y 1400 es 2 al cubo por 5 al cuadrado por 7. Entonces lo que vamos a hacer es fijarnos en los números que aparecen en ambos y vamos a elevar al exponente menor al que aparezca elevado en ambas expresiones y los multiplicamos. En este caso tenemos que 2 al cuadrado por 5 al cuadrado que es igual a 100 es el máximo común divisor de ambos números. Así 500 es igual a 5 por 100 y 140 es igual a 14 por 100. Observa que 5 y 14 no tienen factores comunes. Vamos a ver otro ejemplo. Aquí queremos pensar en el máximo común divisor de dos monomios. Queremos encontrar el máximo común divisor de 54a cuadrada b sexta c séptima y 180 a quinta b cúbica c cuarta. Vamos a resolver. Primero escribimos los coeficientes como producto de sus factores primos para encontrar su máximo común divisor. 54 se puede escribir como 2 por 3 al cubo y 180 puede escribirse como 2 al cuadrado por 3 al cuadrado por 5. Vamos a recordar el procedimiento para encontrar los factores primos. Vamos a usar los números que tenemos que son 54 y 180. Lo que hacemos es ir encontrando los factores primos de menor a mayor así vamos reduciendo el número y resulta más sencillo. El número primo más pequeño es 2 y observamos que 54 es par, por tanto 2 es uno de sus factores. Pero 54 es 27 por 2 de manera que si dividimos entre 2 obtendremos 27. Este número ya no es par entonces 2 ya no es uno de esos factores, sin embargo vemos que el 3 que es el número primo siguiente sí es un factor de 27. Entonces tenemos 3 dividimos 27 entre 3 y me queda 9, 9 es nuevamente divisible entre 3 y tengo que 3 por 3 es 9, 3 es divisible entre 3 y entonces pongo nuevamente 3. Seguramente ya conoces este método, esto dice que 54 se escribe como 2 por 3 al cubo. Vamos ahora con 180 y vamos a hacer lo mismo, 180 es divisible entre 2, 2 por 90 es 180, 90 sigue siendo par entonces tengo 2 y 90 entre 2 es 45. 2 ya no es un factor de este número pero 3 que es el número primo siguiente sí. Observamos que 45 entre 3 es 15. Y 15 es nuevamente divisible entre 3, porque 15 entre 3 es 5, ahora el número primo que sigue es justamente 5 y 5 es divisible entre 5, ponemos 5 5 entre 5 es 1, ahí nos detenemos. Entonces 180 se puede expresar como 2 al cuadrado por 3 al cuadrado por 5. Y ahora encontramos el máximo común divisor de estos dos números viendo cuáles son los factores comunes, 2 aparece en ambas factorizaciones, entonces tomamos 2 elevado al exponente menor que aparezca en las expresiones, en 54 aparece elevado a la 1 y en 180 elevado al cuadrado entonces nos quedamos con 2. Y luego multiplicamos por 3 elevado a la potencia menor a la que aparece en ambas expresiones, en este caso el exponente menor es 2. Ya no hay más factores comunes entonces este es el máximo común divisor que es igual a 2 por 9. Es decir 18 es el máximo común divisor de 54 y 180. Ya que tenemos el máximo común divisor entonces lo que vamos a hacer es lo siguiente, observamos qué sucede con las variables. Teníamos a cuadrada b sexta c séptima en el primer monomio y a quinta b cúbica c cuarta en el segundo. Nos vamos a fijar entonces en las variables que son comunes y otra vez para encontrar el máximo común divisor las tomamos elevadas al exponente más pequeño. Entonces tenemos que el máximo común divisor de 54 a cuadrada b sexta c séptima y 180 a quinta cúbica c cuarta es 18 a cuadrada b cúbica c cuarta. Observa en el renglón de arriba los monomios que tenemos, vemos las variables comunes a, b y c son comunes a los 2 monomios y nos fijamos en el exponente menor. Para a es 2, para b es 3 y para c es 4. En realidad lo que acabamos de ver es un caso particular del procedimiento utilizado para encontrar el máximo común divisor de dos monomios. Lo que hacemos es el producto del máximo común divisor de los coeficientes multiplicado por las variables comunes elevadas al exponente menor con el que aparecen. Vamos a ver un ejemplo. Queremos encontrar el máximo común divisor del polinomio 32a cuarta r sexta t quinta + 6a cuadrada c cúbica r cuarta. Para ello vemos cuál es el máximo común divisor de 32 y 6. Mediante el procedimiento usado en el caso anterior, tenemos que el máximo común divisor de 32 y 6 es 2. Y nos fijamos en las variables que aparecen en los monomios. Observamos que las únicas variables que son comunes a ambos términos son a y r. Y nos fijamos en el exponente más pequeño al que aparecen elevadas a y r que son a cuadrada y r a la cuarta. El máximo común divisor de 32a a la cuarta r a la sexta t a la quinta + 6a cuadrada c cúbica r cuarta es 2a cuadrada r a la cuarta. Utilizando la distributividad escribimos 32a cuarta r sexta t quinta + 6a cuadrada c cúbica r cuarta igual a 2a cuadrada r cuarta que multiplica a 16 a cuadrada r cuadrada t quinta + 3c cuadrada. Así lo que acabamos de hacer fue factorizar el máximo común divisor. En general el máximo común divisor de un polinomio es el máximo común divisor de sus términos. De acuerdo a la definición de máximo común divisor de dos monomios tenemos que el máximo común divisor de dos o más monomios es el máximo común divisor de los coeficientes multiplicado por las variables comunes elevadas al exponente más pequeño que aparezca. [MÚSICA] [MÚSICA]