工程圖學在教什麼？這門課有的重要性為何? 對我的專業有什麼幫助?沒有工程背景的人也可以學習工程圖學嗎？我不是工程師，學習工程圖學對我的生活有幫助嗎？ 這門課是CAD/BIM技術與應用專項課程的第一門課，與其他三門課「工程圖學2D專題」、「工程圖學3D」，及「工程圖學3D專題」，作為工程圖學及電腦繪圖的入門課程，你將在這門課會學到各種繪圖的原理與方法，以及AutoCAD電腦繪圖技術，並在相關的作業練習中，逐漸熟練這些基本技術。 工程製圖的應用無所不在，最主要的目的就是利用圖像來描述物體的形貌與功能，作為保存與傳遞想法的工具。繪圖一點也不難，無論你從事什麼工作，來自什麼背景，只要你具備中學程度的基本幾何和三角函數概念，就可以在這裡從頭開始，學會工程圖學！你會驚訝的發現，當繪圖融入你的生活時帶來的趣味與方便！
405 拋物線繪製
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來自 National Taiwan University 的課程
工程图学 2D CAD
200 個評分
從本節課中
幾何圖法
工程製圖表現物體的形貌，本是由各式各樣的幾何圖形組成，這個模組要教你的是幾何構圖的方法與原理，你也會因擁有正確的幾何知識，知道如何繪製多邊形、橢圓與拋物線等較難以直接精準描繪的圖形！\本模組包含第二次計分測驗。/
與講師見面
康仕仲原臺灣大學土木工程學系教授 (Professor)
土木工程學系 (Department of Civil Engineering)
各位好，現在我要介紹拋物線的繪製。今天課程的重點，第一個
一樣我們要來介紹拋物線的定義，還有拋物線各部位的名稱。
再來我要介紹拋物線的畫法， 這邊我介紹三個在工程圖學上常常用的繪製拋物線的方法，
第一個叫做焦點法，第二個叫做四邊形法， 第三個叫做包絡線法。首先我講拋物線的定義，
拋物線是在一個平面內，拋物線上任何一點的 Pi
任何一點 Pi ，其與一個固定的點 F 之間的距離叫做
FP ， 叫 FP ，我們這邊可以看到圖裏面，我們在拋物線上這條線叫做拋物線，
拋物線，每一個點都叫 Pi ， 任何取一個點叫
Pi ，第 i 個點，跟這個固定點 這邊有一個固定點，其實就是焦點，
它們中間，中間有一個距離叫做 FP，FP，
就是跟，應該說 FPi ，跟任何一個點位，FPi
這個點， Okay ，這個點等於其與一條
不經過此點的 F 固定距離 L 線，L 線，
之間的距離 PiQ ，PiQ ， 好，這
PiQ 是在哪裡呢，就是 Pi 跟 PQ 就是
這條線，所以看到這個焦點到任何一個 任何一個拋物線的一個點，
等於這個拋物線這個點到某一條線 某一個這個準線，這叫準線，
的距離是相等的。所以也就是說，從 F 點到這個點
Pi 然後到 Q1 這是等距的。
這個點到這個點也是等距離的。
好，一樣 F 點到 Pi ，第三個，我們可以說 P3
， 到 Q3 也是等距的，可以想像嗎？好，這樣的一條線
叫做拋物線，這條線叫拋物線。
我們這邊有幾個對拋物線各部位定義的名稱，
第一個我們在講拋物線的軸線，就是這一條 軸線，軸線。
拋物線的軸線是一個對稱的圖形，它的對稱軸 簡稱為軸，也就是這個軸的右邊
拋物線的右邊等於拋物線的左邊，是一模一樣的，只是把它
這個鏡射過來，把它翻面，這個用 鏡子把它翻過來，這樣就叫鏡射，所以右邊等於左邊，所以它是一個
對稱軸。頂點， 頂點並不是這邊，頂點是
拋物線與軸相交的點，就是這個，這叫做頂點。
拋物線與軸相交的點，這叫頂點， 頂點。弦是什麼？拋物線
上任何兩點的線段叫做弦，跟圓弧一樣，圓弧也是有弦的，對不對，就是
圓弧上面任何的兩個點叫做弦。
拋物線的任何兩個點也叫弦，也就是這弦也可以是這樣。
都可以的，只要是兩個點的交界，這條線就是弦。
焦弦，焦弦是通過拋物線 焦點的弦也就是焦弦。
正焦弦是垂直於軸的焦弦，所以 這一條叫做正焦弦，因為它跟
焦點，它經過焦點，而且它是垂直於軸，軸是這一線，
垂直於軸。好，聽起來有一點小小的複雜，不過沒關係，我們這一門課
並不是幾何學的課，也不是數學課，我們最重要是教各位如何用工程圖學的
幾何作圖的方法得到我們的拋物線，所以我們最重要是作圖的方法。
那在作圖方法裏面，如果你真的很有興趣這些幾何學，這些數學的證明，那你可以花時間
去修相關的課程，或者自己去證明一下。
其實網路上也有非常多的資源，我都不在這邊再一一的贅述。
但是工程圖學上面怎麼繪製這個拋物線，工程實務上面怎麼繪製拋物線，
這個是我們這門課的重點。首先我要教授焦點法繪製拋物線。
用焦點法繪製拋物線，已知拋物線準線 AB
直線跟焦點 F ， 所以我們已知這個，我們有個準線還有個
F ，有個 F ， 我們想要繪製出右邊的拋物線，那我們這個是
焦點法，焦點法，當然就是利用一些焦點的特性，也就是我們剛才焦點到
拋物線任何一段的距離等於這個拋物線到這個參考 這個基準線上面的距離是相等的，我們剛才講這個關係。
利用這個關係來繪製拋物線。步驟一， 是過
F 做 AB 直線垂直於 O 點。
過 F ，F 在哪裡呢？在這邊。
看到沒有，Okay，做 AB
的直線垂線，所以說你有 焦點在這裡，那你要對
AB 做一個垂直線， 垂直線，然後於 O 點，所以你就會找到 O
點，所以你有 F ， 可以找到 O 點，那此垂線稱為軸線。
在任何軸線上取任意點 D ，
並且做一條平行 AB 的線，平行於 AB 的線，
這時候我必須講一下，因為 AB
這個準線跟這個焦點我們必須是一個垂直的關係，然後我們找到 D
點，任何一個 D 點來，我們再畫一個平行線，平行線。第二個步驟是以 F 為圓心，這邊為圓心，
OD 點為半徑，
OD 點為半徑，OD 點是在，這是圓心，半徑是這一段，OD 點， 大家可以看到嗎，O 點到
D 點這一個線段， 這個線段是半徑，半徑，那畫一個圓弧，
畫一個圓弧，畫一個圓弧，畫弧的時候有兩個點你會發現，一個叫 P
點， P 點，我這個寫的太外面了，應該寫在這個位置，P
點 P' 點，因為我們剛才畫的平行線 跟這個圓弧會有兩個焦點，一個是
P 點，一個 P' 點， 那以曲線把這個各個交點，
把它連接起來就可以完成拋物線，你可以看看哦，就是我們畫了很多很多剛才的橫線，
那我們不斷不斷做剛才的動作，就是 D1 D2 D3 D4 OD1
到 OD4 為半徑，F 點為圓心，分別找到 這些交點，這些
P 點，這些 P 點，那你就可以得到 一個拋物線，拋物線。所以我再
稍微說明一下剛才我講的，你用任意一條橫線， 就可以找到，就可以用這個半徑為 這個
OD 的這條線，OD 的這條線，去畫一個圓，畫一個圓的時候你就會有交點，
這個交點，這個交點你如果畫了很多 條以後就會像下一頁一樣，我們這邊
就可以找到非常非常多的這個拋物線裏面的點，那把這些點都把它接起來，
它就會成為一個拋物線，拋物線， 它就成為拋物線。那這拋物線它的焦點在 F 點。
它有一個這個準線，AB 準線在這個地方。
所以這就是焦點法繪製拋物線，聽起來有點複雜，可是你實際上做過一次，
你就覺得沒有那麼的難的。第二個是平行四邊形法， 繪製拋物線，應該是說矩形法繪製拋物線。我們已經知道
A 點，也就是 這個拋物線的頂點叫做
A 點，那有對稱點 B 點跟 C 點，
我們怎麼樣畫出一個拋物線呢？那我們可以想像我們用這三個點來繪製出一個長方形，像這個- 右邊一樣，
繪製出一個長方形，利用這個長方形裏面一些幾何的關係， 我們就可以把這個拋物線繪製出來。
所以這中間怎麼做呢？我們來看第一個步驟， 步驟一，果然就是要把長方形繪製出來，因為你已知
B 點， 已知 C 點，已知 A 點，那你可以開始
BC 跟 A 就是來畫出這個長方形來，長方形來。好，這個第二個步驟，
就是這邊的重點了嘍！然後因為它有一些幾何的關系，然後我們就 把它做等分點，然後我們把BE做
五個等分點，所以你把中間找到四個線段，然後BO，應該說四個等分點，
然後它這是五個等分段，五個等分段，那這時候就是我剛剛講的，
自討苦吃，你要把它變成五段不容易，不容易，但是我們這邊因為是用
CAD繪圖的話，就相對簡單，相對簡單， 所以如果你這個要尺規作圖，做五段是不聰明的，你可以做四段或八段，不要做五段。
但是如果你用CAD或用手繪，你看你自己抓一個合適的大小，你知道說
只要這幾個線段是等距的，這樣就可以了，所以我們在這個例子裏面我們用一個
比較難做的五個等分點，五個等分，但是實際上是四個等分點。
好，那把這些等分的線連在一起，垂直地把它
統統把它畫出來，畫出一堆平行線。然後再來是連接
A點跟C、D點，A點在哪裏呢？就是在我們的
這個拋物線的頂端，連接到C、D點，因為都是等分點，都是等分點。
那這左邊也是，都是等分點。
這時候你就會跟剛才的垂直線交界了，所以這邊你就會拿到
A'，也就是說A跟E等分點的，A跟垂直E， 另外一個是垂直的E的等分線，好，那，
這時候你會得到A'，A'。同理A2'，就是說
A跟第二個等分點，然後還有另外一個等分點，
然後3'，4'，嗯。那這幾個都是屬於
拋物線的這個裏面的點， 拋物線上的點，拋物線上的點。所以你有了這幾個點，
你就可以來把它連接起來，然後就可以完成我們的拋物線，
完成我们的拋物線，那你可以想像這個拋物線如果越大，好，或者你想要越精致，
那你這個等分點當然就是越多越好了。最後一個 我們要教授的是包絡線法繪制拋物線，這個
繪制的時候，不僅很好玩， 而且繪制的過程跟繪制的成果也非常的優美。
好我們在學這幾個曲線的繪制，包括之前的橢圓形的繪制， 我們重點不是真的需要這個曲線，因為現在用電腦的方式，很快都可以取得，
可是在作圖的時候，不知不覺在過程裏面，你會感受到這個幾何作圖的美，
那這個美，有時候在設計上就可以用得上來，在工程上也可以拿來做一些解算的工具。
所以我們已知這邊有兩個軸，一個是AC軸，一個是AB軸，
我們想要畫出一個這個拋物線。好，你可以想像這兩個是一個包絡線。
第一個步驟當然就是把AB跟AC做等分定域編號，
定域編號，所以你可以把它做這邊有九等分，應該是八等分，八等分，
所以C我們不管，我們就把它編號，那12345678，12345678，所以
這邊你就要確定每一個段都是一樣的長度，那我們編號這邊是1
編下來。好，這應該是應該講說是從8編到1，這邊從1編到8，因為這待會我們在連線的時候
比較好講，我們就是1對1，2對2，這樣會比較容易。再來 我們就是1跟1'接，2跟2'接，3跟3'接，一直接接接接接，哇，你看到
蠻漂亮的哦，1到1'，2到2'，3到3'。
哦，你這樣看出來，其實是不是有感受到有一個慢慢慢慢
有一個曲線出來啦，好，這就是包絡線法繪制的拋物線。
好，我們就把這一個最邊邊的這個很美的一個曲線，
把它找到，這一個就是我們所要的包絡線法所繪制出的拋物線，
拋物線。
好，最後我們就要來看一下今天所學的拋物線，
好，有各樣的定義，各部的名稱，好像不用背太多，就是
我們大概知道它數學上有這些定義。好，那真的有興趣，你自己 再去看幾何學、數學那相關的內容。我們這一個課程
再說一次，它主要是希望各位更了解怎麼用 尺規，更了解怎麼用幾何的關系，來把拋物線繪制出來。
所以我們的教學目的並不是要
教大家這些數學，而是在這個作圖當中，你能夠把它 這個繪制的方式，幾何繪圖的方式當作一種美感的
這個發想的工具，或者是解決工程數學問題的一種解決的方法。
那我們教了三個方法，我希望對大家有一些啟發。我希望大家能夠練習哦，不是只是聽一- 聽而已。
好，有一個叫做焦點法，有一個叫做四邊形法，一個是包絡線法。
好，那到底怎麼做呢？請大家要多練習，然後
自然而然你以後看到拋物線，或你看到一個曲線的時候， 你自然而然就可以用拋物線繪制的這些技法，好，
來繪制這些曲線，或產生這些曲線。
