0:06
День добрый, уважаемые коллеги
и наши будущие коллеги,
те, кто прошел первый модуль
нашего курса. Мы приступаем теперь
ко второму, более содержательному.
Я напомню: мы говорим о физике.
Причем мы говорим о физике,
как бы не в том школьном,
понимании этого предмета,
а о физике, как ее понимают сами физики;
как о проекте, ставящем себе
совершенно глобальную цель:
узнать, как можно больше об окружающем
нас мире во всех его аспектах,
во всех масштабах (от вселенной до микромира)
и узнать на количественном уровне
с предсказательной силой, т. е. научиться
рассчитывать то, что будет,
если я знаю то, что есть сейчас, например
или рассчитывать то, что было,
если я знаю то, что есть сейчас.
Буквально вот так.
И делать это, опираясь не просто
на собираемые данные наблюдения,
эксперимента, на их анализ,
как это делают все остальные науки.
А делать это, в том числе,
опираясь на некие первопринципы,
как любят говорить физики,
какие-то самые основные представления,
очень общие, о том, как
устроен наш мир, и логику.
Логику, усиленную математическим аппаратом.
Т. е. из естественных представлений
об устройстве мира попытаться
вывести законы, которые
потом проверить экспериментально.
И начали мы и на прошлых,
так сказать, наших лекциях, в первом блоке,
с изучения самого простого
и наглядного случая. Ну, действительно,
трудно сразу, например, начать изучать
окружающий мир количественно,
ну например, в таких его проявлениях,
как запах или цвет.
Ну как описать цвет количественно?
Научимся, научимся, со временем.. ну пока…
А вот простое движение?
Здесь было, как-то пролетело, тут оказалось.
Ну, вот здесь, как-то понятно.
Почему? Потому что положение
в любой момент, мы об этом говорили,
можно задать тремя числами —
координатами, для простенького объекта.
И проследить за тем,
как это положение меняется со временем,
позволяет простейшая математическая
такая вещь, как функция.
Т. е. нужно найти функцию зависимости
координат движущегося объекта от времени.
А как бы в рамках, вот, физики
как проекта научиться строить уравнения,
которые позволяют эти зависимости рассчитывать,
исходя из первопринципов,
опираясь на логику.
Это мы и начнем делать в этом модуле.
Итак, каждый объект,
его положение в пространстве,
если простой объект (практически точечка),
описывается всего тремя числами — координатами.
Если у меня много таких точек,
которые взаимодействуют между собой,
то для каждой точки я должен
записать три координаты.
Всего у меня, если меня есть n частиц,
назовем их так, нужно задать
три-n чисел координат,
и я опишу состояние системы.
Мне нужно найти способ,
как написать уравнение, которое
позволит рассчитать, как состояние будет меняться.
У нас есть такие уравнения —
это второй закон Ньютона.
Для каждой частицы, можно сказать,
что скорость изменения скорости,
т. е. ускорение, — векторная величина,
тоже имеющая три компонента —
определяется суммарной силой,
которая действует на эту частицу.
А если у меня есть n частиц,
то все они могут друг с другом как-то
взаимодействовать. И каждая создает силу,
действующую на данную частицу.
И сила эта — вектор, т. е.
она имеет не только величину
сколько-то ньютон, но и направление:
туда-сюда, куда-то...
4:00
И как только я записываю
эти уравнения с использованием понятия вектор,
а в конце прошлого модуля я
просил вас вспомнить,
что это такое из школьного курса
и еще раз, так сказать,
вот как с ними проводить какие-то
математические операции, сразу я натыкаюсь
на очень тяжелые математические трудности.
Т. е. мне нужно отслеживать,
как у меня меняется не только
величина силы по мере изменения
конфигурации системы, по мере того как
ее отдельные части движутся
относительно друг друга,
но и следить за направлением сил,
которые, так сказать, на
каждую частицу двигаются и все время
меняются по направлению.
Это очень и очень непростая
для формализации и для решения задача.
Поэтому очень хотелось бы
все свести к каким-то более простым,
может быть, как говорят физики,
скалярным функциям, которые просто
являются зависимостью от чисел.
И значение этой функции в любой точке —
это просто число.
И вот тут помогает абстрактная математика
и еще один, давайте его назовем,
первопринцип: математика очень полезна,
даже самая абстрактная.
Даже самая абстрактная математика
иногда бывает удивительно практична.
Математики придумали такую вещь,
которую они называют обобщенный вектор.
Вот погорим про них.
В школьных учебниках говорят:
вектор — это направленный отрезок.
Можно сказать так.
Но можно сказать, что вектор —
это совокупность трех координат x, y, z,
т. е. совокупность трех чисел.
А что трех?
Потому что наше пространство трехмерно.
А если движение совершается в плоскости?
Тогда достаточно двух.
Если движение вдоль одной линии?
Тогда достаточно одной.
А почему бы, говорят абстрактные математики,
не представить себе вектор,
у которого четыре компоненты,
двенадцать компонентов, сто двадцать шесть,
один миллион триста пятнадцать тысяч,
например, компонентов. Почему нет?
С точки зрения "абсолютно абстрактно"?
Представить себе его как
направленный отрезок не получится.
Но представить себе его абстрактным —
строчку из 120 чисел,
закрытую скобочками и разделенные
все эти числа запятыми —
и будем называть это
120-мерным обобщенным вектором.
Так вот. Давайте попробуем использовать
эту абстракцию для того, чтобы начать
строить хорошую физику.
Положение системы из n частиц
тогда будет описываться (состояние)
3n координатами: по три координаты
на каждую частицу. И вот их все
можно записать в одну строчку
и обозначить такую вот строчку,
назвать ее обобщенный вектор
из трех n компонентов.
Или n маленькая, назовем это
число n маленькая, равное 3N,
N большое — число частиц —
n маленькая умножить на количество чисел,
которыми система из n частиц описывается,
назовем это числом степеней свободы системы.
Очень важное понятие,
оно нам будет нужно дальше часто.
Тогда производная от этих координат,
вот они обозначены в этих формулах
буковками q, dq/dt, —
это будут обобщенные скорости.
Обобщенные координаты, скорости изменения
обобщенных координат — обобщенные скорости.
Их тоже будет 3n компонент,
образующих такой обобщенный вектор скорости.
И дальше, мы знаем что
второй закон Ньютона
очень хорошо работает,
очень хорошо работает.
Техника вся, механика, огромные паровозы
ездят, корабли плавают,
и все это основано, так сказать,
на знаниях законов механики,
все это работает.
И в законах механики — законах Ньютона —
мне достаточно знать
только координаты и скорости
в начальный момент.
Ускорение я рассчитаю
по второму закону Ньютона и дальше
узнаю про движение системы все.
Будем считать, что и в самом
общем случае, в обобщенном случае,
мне достаточно знать в начальный момент
координаты и скорости,
обобщенные координаты и обобщенные скорости.
И тогда я смогу узнать все.
Но надо способ придумать.
Вот первый шаг сделал
Жозеф Луи Лагранж — французский исследователь,
физик-математик — в конце 18 века.
Он опубликовал книжку в 1788 году,
которая называлась "Mécanique analytique"
("Аналитическая механика").
И в ней он предположил что, наверное,
так сказать: вся информация, которая
только нам нужна,
для того чтобы описать движение системы,
ну предположим, она должна
зависеть только от координат и скоростей.
И вот эти координатные скорости,
наверное, можно объединить в какую-нибудь
одну функцию, назовем ее функция Лагранжа.
Вот в ней вся информация содержится,
и надо только придумать способ,
как ее извлечь.
Я сказал, что-то вообще чрезвычайное?
Да нет, ничего особенного.
Но если у меня есть какая-то информация,
я ее могу, так сказать, представить,
что она собрана в функции.
Да, но мне надо только придумать
способ, как ее оттуда вытащить.
Пока ничего конструктивного.
В следующем эпизоде мы увидим,
насколько великолепны и блестящи конструктивные
последствия этого забавного предположения.
До встречи!