那麼就像剛剛那隻神祕的貓提醒我們的一樣 我們現在有三個問題，三個最佳化問題，各有兩個變數
個別地把答案解出來了以後呢，我們想要比比看，這三種 策略下，哪一個策略給我們的 equilibrium
profit 會最大 好，那我們來看看解出來會變成什麼樣子
那麼呢，經過對個別的策略做 分析，我們可以求出這三種定價模式下
的個別的最佳價格是什麼？或者說這個策略要怎麼 implement
會最好？那麼呢 這東西我們寫在這裏就是引理 1 啦。
那你可以看到會員費定價下的最佳價格如此這般
運費定價下的最佳價格如此那般，以及直接交叉補貼下的最佳價格是這樣這樣跟那樣，好
那看起來是沒什麼大問題，不過既然我們是把它做出來了，那我們來試着來證明看看
那麼呢，這三個問題證明的方式是很像的，所以我們來證明第一個就好了
有興趣的同學可以跟着試試看，或者是去看我們附給大家的文件
裏面有三個問題的證明，好的，今天啊
假設我們考慮會員費定價，那麼會員費定價我們來定義一個目標式 這個目標式呢，我們叫它
πM(Fc,rs)，因爲這個時候已經沒有 rc
了嘛 所以呢變數只有兩個，那麼我們把這個時候的 profit 叫做
πM，它是會員費定價下的平臺利潤 這個時候呢，根據 first order necessary
condition，也就是前一頁我們說的，最佳解必須要滿足什麼？ 對 Fc 微分要等於
0，對 rs 微分要等於 0，滿足這個條件不一定是最佳解
但是最佳解一定要滿足這個條件，所以如果我們把滿足這兩個 equation
的 點通通都求出來的話，至少是一個合理的第一步。
要是運氣一好，誒，解出來的剛好就只有 那麼一個點，那這個時候呢它基本上應該就要是最佳解啦，如果我們再對函數的形狀做點-
分析的話 好，於是呢，大家就做了點微積分練習 對 Fc 微分沒有什麼學問，就硬微就對了，對 rs 微分也是硬微就對了。
你可以 跟我對一下答案，就會跑出這兩個等式來，看起來是挺噁心的 好，噁心歸噁心，你就往下做。
等式一你稍微整理一下的話 呢，會發現它可以被寫成
Fc 是一個 rs 的函數 你就是移項一下，Fc 就會是一個
rs 的函數，這個看起來 還算是合情合理，因爲你如果 rs
越大 表示什麼，表示你給快遞端越多的補貼，那你這件
事情得要有財源嘛， 所以你的錢從哪裏來，就是要收比較多 Fc 才能做到這件事情
ok，所以你的 Fc 會隨着 rs 上升而上升，大體上 來說啦。
好，那麼呢，總之你得到了一個最佳解必須要滿足的等式 你就把它代進等式二，那這個就很恐怖啊，你的
Fc 要平方啊，然後又出現在兩個地方，你代進去了以後 總之變成一個
rs 的函數，你經過一番複雜發瘋的化簡了以後呢
你會得到一個 rs 的多次式，那依你做的方式不同
你可能會直接得到二次式或者是三次式，裏面可能會有根號 rs 什麼什麼的
但總之最後你會發現 rs 只有兩個可能的解，分別是 9
分之 1 和 1 好，然後呢如果你把 9 分之 1
和 1，分別代入這一個式子的話 那你就會得到兩個可能的
Fc 分別是 9 分之 2N 和 N，你就會得到這樣子
換言之，在這個平面上你有兩個可能的解啦，如果你把 rs 畫在這裏
Fc 畫在這裏的話，那你的 rs 有兩個解 9 分之 1 跟 1
然後呢你相對應的 Fc 有 9 分之 2N 和
N，所以你有這個點和這個點，這兩個點都符合你的 first-order
condition 所以呢，嗯，只有這兩個點有可能是最佳解啦，大概
是可以得到這樣子的一個結論，至於這兩個點誰比較好呢 代進去目標式馬上就可以看出來。
所以呢，簡單的比較 你會發現 9 分之 1，9 分之 2N
會給你一個 positive 的 profit 但是 1 跟 N 代進去答案是
0，爲什麼是 0 呢，因爲你的補貼太少了，對不起
補貼太多了，你收的費用也太多了，所以沒有消費者想要加入，結果你就 一點 profit 都賺不到，大家可以試試看。
所以結果就是 這個東西會是一個最佳解 這裏啊我們其實呢漏掉了一個步驟，我們沒有寫，因爲太
複雜了，漏掉什麼步驟呢，大家可能有印象，一維的時候 函數如果長這樣子，一次微分等於
0 的點不一定是最大值嗎？搞不好是最小值呢 好，所以我們理論上應該要 verify
一下 我一個點，一次微分等於 0 ，那它的二次微分
是不是負的，如果二次微分是負的的話，那函數就 向下開，這個時候就真的是最大值啦
好，但是我們這裏沒有寫出來，原因大概是因爲，這個時候我們有二維嘛，二維的時候如果你 真的要
verify 向下開這件事情的話，我們得要 verify 一個事情叫做所謂的 Hessian matrix
要是 negative semidefinite，如果你線性代數跟微積分都學得不錯的話，知道我在講什麼
不知道的話你就，嗯，你就相信我們有認真地 verify 這個
condition 讓它真的是最佳解 那或者是大家可以就是 convince
yourself 說這個是對的 或者是去看我們附給你的文件。
好的，但總之 那件事情沒有那麼 critical，因爲你重點是
得到現在這個 solution，至於 verification，反正就對了嘛就是這樣子
好，所以這裏的重點就是，二次的題目，對不起 二維的題目你要做的事情就是兩個
first-order condition 要同時成立 那後續你要做 verification，所以大家真的要寫
paper 的時候呢，或是 真的要做研究的時候，一階數學工具還是需要的，好 那麼這裏我們就算是解出來啦。
那另外兩個子題呢，你可以依樣 畫葫蘆去試試看，各有各的複雜的地方，不過都是解得出來的
那麼我們來稍微比較一下
這些結果，如果你們把它們放在一張表格上比較的話呢，馬上就會看 到一些有趣的事情。
首先就是你會員費定價的時候 你 rc 是 0，運費定價的時候 Fc
是 0，直接交叉補貼的時候 rs 要等於 rc，這些都沒問題。
其次你發現所有的人的 rs 都一模一樣大，都是 exactly
9 分之 1，Fc 如果是 0 的話，這個 case，如果我只用運費來
做收入，那麼呢每一次我收 9 分之 2，付 9 分之 1
那麼呢，我每次就賺 9 分之 1，如果我用直接交叉補貼的話呢
就是進 9 分之 1，出 9 分之 1，但是我有會員費的收入
那最後，如果我用會員費定價的話呢，我會員費的收入是最高的。
但是這個時候呢，我每一次做 交易，都得要付出一點錢。
所以看起來都 make sense
當我只有運費當收入的時候，運費就要最高，當我只有會員費收入的時候，會員費就要最高 交叉補貼就界於兩者之間。
看起來好像挺 ok 的。
進一步看的話會得到更多資訊 你會發現這三個策略其實是等價的，等價的英文是
equivalent 嘛，它是什麼意思呢，其實它們是一對一的，其實是互換的
爲什麼這麼說呢，首先你看它們的單趟補貼的 rs 都是一樣大的，對吧 那你知道
η* 等於 rs，所以表示你的 平臺上的快遞員的人數是一樣多的。
你用這三個策略，只要你 個別地都做最佳解的話，結果快遞員的人數會一樣，那因此 服務品質就一樣。
那麼對於消費者端他們會想什麼呢？他們會想，嗯，服務品質都一樣
所以我只要考慮我在這一年中總共要付的錢多或少就好了 但是呢如果你把
Fc+Nrc 這個量 拿來算一下的話，你會發現它們都等於
9 分之 2N 對吧，會員費的時候直接就是 9 分之 2N，運費的時候是 9
分之 2 乘以 N 直接交叉補貼的時候是，9 分之 1N 加 9 分之 1N。
所以換句話說，這三種策略 的快遞員的人數一樣，服務品質一樣
每一個會員一整年下來要繳的錢一樣，平臺上的會員人數 也因此就都一樣了。
所以我們這裏得到一個結論就是 這三個策略可能有其它面向是不同的，但是在提供誘因讓
會員加入、 讓快遞員加入的方面是一樣的。
這三個策略並沒有誰好，誰 不好，其實都是一樣的。
反正呢，會員費收多一點，運費就收少一點，這件事情是你可以控制的
ok？所以呢求解這三個子問題會得到這樣子的一個結論
孔令傑助理教授
